A lo largo del desarrollo del
capítulo anterior se han detectado determinadas limitaciones posibles para la aplicación
de los índices de performance tradicionales. En particular,
para el índice de Sharpe debe recordarse que la derivada
parcial del mismo con respecto al nivel de riesgo total tenía
la siguiente expresión:
Dado el sentido financiero
del índice de performance de Sharpe, esta derivada debe
tener signo negativo, tal que, dado que el denominador siempre
será positivo y que la fracción viene precedida
de un signo negativo, debe ocurrir que
el numerador de la expresión sea positivo, o lo que es
lo mismo:
E(Rp) >
Rf
Caso de que esta condición
no se cumpliera en
la totalidad o en un subconjunto de las carteras cuya gestión
se pretende evaluar y clasificar, dicho ranking de gestión no sería
correcto.
Al centrar el estudio en esta
situación anómala, ya que un determinado subconjunto
de carteras presentan prima de rentabilidad negativa, la primera consecuencia para estas carteras es que el valor
que el índice de Sharpe toma para ellas es negativo, ya
que:
Por lo que, suponiendo que: E(Rp) - Rf < 0
se verificará: Sp < 0
Ya que la desviación
típica de una variable aleatoria nunca podrá ser
menor que cero.
La implicación de que
una cartera con rendimiento inferior a Rf tenga un nivel de performance
negativo parece, a priori, una cuestión razonable y coherente,
ya que el ranking de esta medida de Sharpe ofrece un orden de
prelación en relación directa al valor del índice.
No obstante, no se puede concluir
que esta medida de
performance es coherente en este contexto ya que:
Obsérvese cómo
esta
desigualdad implica que, a mayor nivel de riesgo, mayor nivel
de performance ofrece
el índice de Sharpe. Por lo tanto, esta implicación,
incumple tanto el supuesto de racionalidad
de los inversores como el sentido financiero de la performance.
Por lo que se refiere al mapa de líneas
isoperformance, recuérdese
que estaba formado por un haz de rectas que cumplían la
siguiente expresión:
E(Rp) =
Rf + Sp* * sp
Que se identificaba con una
función de este tipo:
y = a + b*x
Donde la ordenada en el origen de cada una de las rectas era a, o
lo que es lo mismo, Rf,
dependiendo el valor de la pendiente de cada recta del valor
de performance que representan. En este caso, el valor del índice
Sp* es negativo y, siendo dicho valor representativo de la tangente
del ángulo que forma cada recta con el eje de abcisas,
dichas rectas
son decrecientes en
las coordenadas de rentabilidad y riesgo. Dicha evidencia se
ilustra en el gráfico
4.1.
La reflexión que se obtiene de estos desarrollos es obvia:
si el numerador de la expresión del índice de Sharpe
es negativo cuanto mayor sea el nivel de riesgo menos negativo
es el valor resultante del índice, lo cual es un absurdo financiero de acuerdo con la naturaleza de la
medida de performance de Sharpe.
Si se realiza, tal y como se
hizo en el capítulo anterior, el análisis de las
variaciones que sufre, en este entorno anómalo en que
la prima de rentabilidad de las carteras es negativo, el índice
de performance de Sharpe ante variaciones de la rentabilidad
media y de la desviación típica se pueden obtener
las siguientes conclusiones:
a) Por lo que se refiere a la observación
de la influencia sobre el índice de Sharpe de incrementos de la rentabilidad media de la cartera, el efecto es
el mismo que en el entorno financiero habitual:
Gráficamente, esta influencia
ya se observó en el capítulo anterior, particularmente
en el gráfico
3.9.
b) Sin embargo, como ya se ha observado
mediante las derivadas parciales el efecto, en este entorno,
sobre el valor de la performance de Sharpe, de variaciones en el nivel
de riesgo total de
la cartera manteniendo constante la rentabilidad media de la
misma no va a ser el correcto. Realizando un análisis
similar al realizado en el capítulo anterior, se obtiene
el siguiente e incoherente
resultado:
Partiendo del caso inicial en que: 
Y aplicando un incremento al
valor de s,
se tiene que:
Resultando:
Y operando:
Obteniendo la conclusión de que:
Dado que: E(R)* - Rf < 0
Implica: D´S
> 0
Es decir, se comprueba que
el efecto de soportar
un mayor riesgo en este entorno se valora positivamente.
El efecto queda materializado
en el gráfico 4.2. Sus características son similares
al gráfico 3.10., si bien el rango de x se mueve en valores negativos.
Ejemplo
4.1. La
rentabilidad media mensual de los activos libres de riesgo ha
sido durante el último año del 0,25 %. Además
tenemos las rentabilidades mensuales de tres carteras para el mismo período. Los
datos en
porcentaje
son los siguientes:
|
Período |
Cartera
A |
Cartera
B |
Cartera
C |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
-2 |
-2 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
5 |
1 |
2 |
-4 |
|
6 |
-3 |
1 |
1 |
|
7 |
2 |
0 |
2 |
|
8 |
1 |
-1 |
3 |
|
9 |
-3 |
-2 |
-1 |
|
10 |
-1 |
0 |
-1 |
|
11 |
0 |
1 |
1 |
|
12 |
1 |
1 |
-1 |
De estos datos
obtenemos a continuación las rentabilidades medias mensuales de
las tres carteras, así como sus desviaciones típicas. Los resultados en
porcentaje son los siguientes:
Cartera
|
E(Rp) |
s(p)
|
A
|
0,166
|
1,72
|
B
|
0,166
|
1,34
|
C
|
0,166
|
1,91
|
Observamos que las tres carteras tienen una rentabilidad media
similar e inferior a la del activo libre de riesgo propuesto,
por lo que nos encontramos ante una situación de prima de rentabilidad
negativa.
Sin embargo la cartera C muestra una mayor variabilidad, mientras
que la cartera B es la que ha tenido un comportamiento más
estable. Por tanto si aplicamos los índices de Sharpe
deberíamos obtener el mayor valor con la cartera B que
es la que ha estado mejor gestionada, mientras que la cartera
C sería la que peor índice de Sharpe nos ofrecería
ya que para obtener la misma rentabilidad que las otras dos ha
soportado un mayor riesgo total. Los índices de Sharpe para las tres
carteras
son los siguientes:
|
Sp |
Cartera
A |
Cartera
B |
Cartera
C |
|
-0,05 |
-0,06 |
-0,04 |
De los resultados
anteriores deducimos que no se refleja lo expresado en el párrafo
anterior, ya que la cartera con más riesgo (C) es la que
presenta un mayor valor, mientras que la mejor gestionada (B)
representa la peor performance de acuerdo con este índice,
por lo que queda comprobado que en este entorno el riesgo se valora
positivamente.
|
