A continuación, se procede a realizar un análisis similar al realizado en el punto anterior, si bien en este caso serán medidas alternativas al índice de Treynor las que se van a tratar de aportar.
La problemática, en principio, para este índice difiere significativamente de la correspondiente a la medida original de Sharpe, ya que, además de la posibilidad de que las carteras analizadas ofrezcan una prima de rentabilidad negativa, puede ocurrir que un subconjunto de ellas presenten un parámetro b negativo.
No obstante, este segundo caso, como se ha comentado es mucho menos relevante que el primero. De hecho, es muy difícil encontrar parámetros del riesgo sistemático negativos, más aún en el largo plazo y, además, si se da algún caso éste no es significativo.
Por esta razón, se van a ofrecer medidas alternativas al índice de Treynor similares a las aportadas en el punto anterior, si bien, en lugar de trabajar con el riesgo total será el parámetro b representantivo del riesgo sistemático el que se utilizará.
En este caso, también existirán dos posibles entornos:
Ambas posibilidades se van a estudiar por separado, intentado en cada una de ellas ofrecer medidas coherentes con la nueva situación planteada.
1) Tal y como ocurría en el apartado anterior, cuando se planteaba esta situación para el índice de Sharpe, si se intenta indicar una medida de performance que cumpla que las derivadas parciales con respecto a la pérdida media y al riesgo total sean positivas, debe cumplirse el hecho de que cuanto mayor sea el valor del índice peor gestionada habrá estado la cartera. Por lo cual, el ranking de bondad de gestión de carteras que ofrezca esta medida será inversamente proporcional al valor de la medida de performance que cumpla estas características.
Siguiendo las pautas que se han marcado, se plantean a continuación dos medidas de performance que cumplen las condiciones marcadas en este apartado:
1.a) Análogamente al caso planteado para el índice de Sharpe se podría pensar en una medida cuyo nombre podría ser producto pérdida-riesgo sistemático, cuya expresión sería la siguiente::
PPRSp = [ Rf - E(Rp) ] * bp
O bien:
PPRSp = (-xp) * bp
Donde:
Esta medida se ofrece como una alternativa simple al índice de Treynor, tal que cumple con el objetivo de ofrecer rankings coherentes en el entorno concreto de que la variable (-x) sea positiva.
Para dicha medida, el mapa de líneas isoperformance es similar al indicado en el gráfico 5.1., si bien hay que hacer constar que el eje de abcisas representa, en este caso, el riesgo sistemático y no el total, es decir, el parámetro bp y no sp. De esta manera, las líneas isoperformance tendrán la siguiente expresión para los diferentes valores de PPRSp*:
Al igual que ocurría en el gráfico citado, cada curva es representativa de un determinado nivel de performance, que será mayor cuanto más alejada esté la línea de los ejes, ya que, como ya se ha indicado, cuanto mayor valor ofrezca este índice denominado producto pérdida-riesgo sistemático, peor gestionada habrá estado la cartera.
1.b) En este sentido, variando ligeramente el producto anterior, se propone la siguiente expresión:
O bien, de acuerdo con el cambio de variable que, para simplicidad de cálculo, se viene realizando en estos casos:
A partir de la expresión última, las derivadas parciales con respecto a las variables significativas cumplen las directrices marcadas anteriormente en este entorno, ya que:
De esta manera, se demuestra que la medida propuesta ofrece rankings consistentes, ya que, cuanto mayor sea el valor del índice propuesto peor gestionada habrá estado la cartera en cuestión.
No será necesario especificar el mapa de curvas isoperformance, ya que es coincidente con el ilustrado en el gráfico 5.2., si bien, en este caso, el eje de abcisas es representativo del valor del riesgo sistemático de las carteras analizadas. La expresión de cada una de estas curvas para los diferentes valores de PPRSp´* es la siguiente:
Las reflexiones que se realizan para esta alternativa serán, por tanto, similares a las realizadas para el índice PPRp´ propuesto para la medida de performance de Sharpe, es decir:
- Los ejes de coordenadas son representativos de todas las combinaciones cuyo nivel de performance es nulo de acuerdo con el producto pérdida-riesgo sistemático.
- Las diferentes curvas indicadas ofrecen un determinado nivel de performance. Dicho nivel será mayor cuanto más alejada esté la línea de dichos ejes, de manera que, una combinación determinada representará un nivel de bondad de gestión menor cuando más lejos esté del eje la curva isoperformance en que se sitúe.
2) Para el segundo de los casos, en que las derivadas parciales con respecto a la pérdida media y al riesgo sistemático son negativas, se ofrece, como analogía al caso anterior, una única medida de análisis que se podría denominar como inversa del producto pérdida-riesgo sistemático. De modo que dicho índice tendría la siguiente expresión:
O de forma análoga:
Donde:
De esta manera, debe recordarse que, en este entorno, el índice propuesto tendrá un menor valor cuanto mayor sea la pérdida de rentabilidad media con respecto a los activos libres de riesgo, así como cuanto mayor sea el riesgo sistemático.
Igualmente, debe citarse que la primera desigualdad se cumplirá únicamente en el caso en que bp sea positivo.
En este caso, el mapa de líneas isoperformance resulta coincidente con el gráfico 5.3., ilustrativo de una propuesta similar para el índice de Sharpe. Como ocurría en aquel caso, cuanto más alejada esté la curva isoperformance del eje de coordenadas contendrá combinaciones mejor gestionadas, es decir, con mayor nivel de performance. Por otro lado, la expresión de estas líneas isoperformance para cada valor de IPPRSp* será la siguiente:
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