Las medidas de performance alternativas de coherencia absoluta

II El indice alternativo Sp*

1) Estudio de las líneas isoperformance Sp*

A partir de las conclusiones obtenidas en desarrollos anteriores, el índice de Sharpe ofrece rankings de performance consistentes en todas las situaciones posibles excepto en aquélla en que la rentabilidad media de un determinado subconjunto de carteras no supere el rendimiento medio correspondiente a los activos de renta fija. De esta manera, aunque las variantes de la medida producto pérdida-riesgo total ofrecen clasificaciones coherentes para este subconjunto de carteras, el análisis de un conjunto en el cual haya carteras con rentabilidad mayor que Rf y también carteras cuyo rendimiento sea menor que Rf, no sería homogéneo y se deberían analizar cada uno de los dos subconjuntos por separado.

Este problema que se plantea se puede solventar proponiendo medidas que sean coherentes en ambos entornos, tal que:

Donde:

y

El índice alternativo Sp* que a continuación se plantea recoge un cambio de consideración de las primas de rentabilidad. En este sentido, el índice tradicional incorpora una prima de carácter absoluto, es decir {E(Rp) - Rf}, mientras que la variación propuesta sugiere utilizar primas relativas, por tanto, {E(Rp) / Rf}.

Debe indicarse que, además de las razones prácticas que apoyan esta propuesta, también existen justificaciones de carácter puramente financiero que la refuerzan, lo que permite indicar que el nuevo índice propuesto no obedece únicamente a un mero ejercicio algebraico. Estos razonamientos son los siguientes:

- Considerar primas de rentabilidad relativas es un ejercicio similar a considerar el criterio del Tanto Interno de Rendimiento en valoración de inversiones frente al criterio del Valor Actual Neto de carácter absoluto.

Asimismo, cuando se analizan inversiones alternativas no homogéneas en desembolso inicial, el criterio VAN debe ser utilizado en sentido relativo a la inversión efectuada, mediante la Relación Beneficio-Coste.

- Por otro lado, si se pretende analizar la evolución de la calidad de la gestión de las carteras en el tiempo, el valor del rendimiento del activo libre de riesgo ya no es constante. Por esta razón, resulta conveniente que sea tratado de forma similar al riesgo de las carteras.

Con todas estas precisiones, la expresión del índice alternativo es la siguiente:

Tal que:

Donde estas expresiones se cumplen en cualquier caso. Unicamente, podría plantearse la posibilidad de que E(Rp) tomara valores negativos, si bien esta situación debería ser altamente improbable, al menos para largos períodos de tiempo. De esta manera, puede aceptarse que, temporalmente, una cartera ofrezca rentabilidades medias por debajo del rendimiento de la renta fija, pero aceptar que una cartera ofrezca rentabilidades medias negativas durante un determinado y amplio período de tiempo es un supuesto excesivamente difícil de mantener.

Por lo tanto, se puede aceptar la medida de performance Sp* como una expresión óptima para realizar rankings aceptables de gestión de carteras y en cualquiera de los dos subconjuntos anteriormente indicados, que estaban referidos a los diferentes valores que podía tomar la rentabilidad media de las carteras.

El nivel de performance que esta medida va a ofrecer para toda cartera será necesariamente positivo, ya que tanto E(Rp) como Rf y como sp son valores positivos. No obstante, como se puede comprobar mediante simples supuestos numéricos, los diferentes niveles de performance son accesibles para cualquiera de los dos subconjuntos que inicialmente se han planteado, de tal manera que no necesariamente todas las carteras con rentabilidad superior a Rf dominarán a todas aquellas carteras cuyo rendimiento sea menor que este valor.

Partiendo de las correspondientes expresiones:

Sea

De forma que esta expresión d presentará valores mayores que la unidad cuando la cartera A esté mejor gestionada que la cartera B, mientras que sus valores serán inferiores a la unidad en caso contrario. Sustituyendo en la expresión anterior:

Por lo tanto, una cartera estará mejor o peor gestionada que otra de acuerdo, únicamente, con los valores que tomen los parámetros fundamentales de rentabilidad media y de riesgo total de las mismas y nunca esta expresión dependerá de Rf.

Ejemplo 6.1 Sean las carteras A y B y sean los siguientes los valores correspondientes a sus rentabilidades medias y a sus niveles de riesgo total:

Cartera

E(Rp)

s(p)

A

12%

2%

B

9%

1%

Rf

10%




De esta manera, los
valores de performance que se obtienen en base al nuevo índice son los siguientes:

Cartera

S*p

A

0,6

B

0,9

Por tanto, en base a la medida propuesta, la cartera B ha estado mejor gestionada que la cartera A, cuando ésta ha obtenido una rentabilidad superior a la obtenida por los activos sin riesgo, todo lo contrario que la cartera B.

Aplicando el cociente d explicado con anterioridad, observamos que obtenemos un valor inferior a la unidad, lo que pone de manifiesto la mejor gestión de la cartera B sobre la A:



Por lo que respecta a otro punto fundamental en el estudio de estas medidas como es la confección del mapa de líneas isoperformance, en el caso de esta nueva alternativa de performance Sp* al índice de Sharpe, debe indicarse que la expresión que estas líneas tomarán para los diferentes valores de performance será la siguiente:

E(Rp) = Sp* * sp * Rf

Expresión a la que se acogen las diferentes rectas especificadas en el gráfico 6.1

Gráfico 6.1




Sobre la observación de dicho gráfico se pueden realizar las siguientes precisiones:

- Solamente se analiza el primer cuadrante ya que tanto E(Rp) como sp únicamente pueden tomar valores positivos, tal y como se ha indicado anteriormente.

- Como se puede observar, las líneas isoperformance son rectas, es decir, se repite el mismo caso que ocurría para la medida inicial de Sharpe. No obstante, en este caso, la ordenada en el origen de cada recta es cero y no Rf como se ilustraba en el gráfico 3.5.

- Cada recta que se indica en el mapa es indicativa de un conjunto de combinaciones posibles de rentabilidad media y riesgo total cuyo nivel de performance será mayor cuanto más alejada se encuentre dicha recta del eje de abcisas.

- La pendiente de las rectas isoperformance depende no sólo del valor de performance que representan sino también de la rentabilidad de los activos libres de riesgo. La expresión correspondiente es Sp**Rf para cada uno de los valores Sp* representados.

- Indicando en el gráfico anterior el valor de rentabilidad media correspondiente a los activos de renta fija se pueden comprobar, tal y como se observa en el gráfico 6.2, algunas de las cuestiones indicadas anteriormente.

De esta manera, tomando, por ejemplo, la línea isoperformance de nivel S2, se puede comprobar que contiene combinaciones cuya rentabilidad media es superior a Rf, como es el caso de la combinación C1, y otras en que se cumple lo contrario. Mientras que, si se toma la combinación C2 contenida en la recta de nivel de performance S3, se puede deducir que, en primer lugar, la cartera C2 ha sido mejor gestionada que la anterior, puesto que se encuentra en una recta más alejada del eje de abcisas y, en segundo lugar, C2 presenta una rentabilidad media inferior a Rf mientras que la correspondiente a C1 superaba dicho valor.

De esta manera, se vuelve a comprobar, en este caso desde un punto de vista gráfico, la premisa indicada anteriormente según la cual carteras cuya rentabilidad media sea inferior a la rentabilidad ofrecida por los activos sin riesgo pueden presentar niveles de performance superiores a los ofrecidos por carteras cuya rentabilidad es superior a Rf.



2) Tratamiento de la rentabilidad y del riesgo total S*p

A continuación, retomando la metodología que se ha utilizado en capítulos anteriores, tanto para el estudio de los índices originales de Sharpe, Treynor y Jensen, como para todas las propuestas de coherencia relativa que se han ofrecido en el quinto capítulo, se procede a realizar el análisis de las variaciones que sufre el índice de performance alternativo al de Sharpe Sp*, cuya coherencia resulta absoluta, ante cambios, en primer lugar, de la rentabilidad media de las diferentes carteras tomando valores constantes del riesgo total y, en segundo lugar, ante variaciones del citado riesgo total de estas carteras dejando invariante su rentabilidad esperada.

De nuevo, se toma como elemento base de trabajo el correspondiente a incrementos finitos de las variables independientes en cada uno de los dos casos, con la finalidad de observar las variaciones que provocan sobre la variable dependiente, es decir, sobre la performance.

Para un valor constante de la desviación típica s*, la expresión que une la rentabilidad media E(R) de una cartera y su nivel de performance S*I es la siguiente:

De esta manera, esta expresión resulta indicativa del valor de performance S*I de una determinada cartera para la cual se toma el nivel de riesgo total s* como un valor fijo, realizando análisis de sensibilidad sobre la rentabilidad media.

El resultado de la aplicación de incrementos finitos sobre el valor de E(R) es el siguiente:

De acuerdo con el escenario planteado, el objetivo fundamental es la obtención de la expresión correspondiente al incremento del valor de la performance DS* que la variación de la rentabilidad esperada DE(R) ha provocado:

Por tanto:

La conclusión fundamental que se puede obtener de este desarrollo analítico es que cada incremento unitario que se produce en la rentabilidad media de una cartera conlleva incrementos de performance, según el índice Sp*, en el mismo sentido e iguales a ( 1/Rf*s*)

Estos desarrollos analíticos se pueden comprobar mediante el estudio de la evolución de las funciones representadas en el gráfico 6.3. Para la interpretación correcta del mismo conviene realizar previamente las siguientes precisiones:

1) En el eje de abcisas se indica el rango de valores establecido para la rentabilidad media de una determinada cartera. De esta manera, las líneas resultantes representan las variaciones que, sobre el nivel de performance de la citada cartera, conllevan incrementos en la citada rentabilidad media.

El rango indicado parte del 6% hasta el 12%.

Gráfico 6.3

2) Como valor correspondiente al rendimiento medio de los activos libres de riesgo se toma el 9%. Dicho valor se toma con la única finalidad de que sea el punto medio del rango establecido para el estudio de la rentabilidad media de la cartera. La principal necesidad de establecer este valor surge por el motivo de pretender ofrecer niveles concretos de performance para, de este modo, poder comprobar la evolución de las funciones que se representan en el gráfico.

3) En el eje de ordenadas se indican los citados niveles de performance de acuerdo con la medida propuesta Sp*, para un nivel de riesgo total s* que permanece invariante en cada línea.

4) El rango de variación contemplado para el riesgo total va desde el 0,5% hasta el 3,5% mediante incrementos de medio punto porcentual como base de variación.

A partir de estas precisiones y realizando la comparación de este gráfico con el número 3.9., correspondiente a la misma problemática para el índice de performance original de Sharpe, resulta evidente que ambas medidas evolucionan de modo idéntico ante variaciones ocurridas en la rentabilidad media de las carteras para valores constantes del riesgo total.

Por otro lado, para el análisis de las variaciones en el valor del índice de performance propuesto ante incrementos del riesgo total de las carteras se siguen pautas similares al caso anterior.

De esta manera, para un valor constante del rendimiento medio de una cartera E(R)*, la relación existente entre el nivel de riesgo total de la cartera s y su nivel de performance S*I es la siguiente:

Tal que esta expresión permite obtener el nivel de performance S*I de cierta cartera cuyo nivel de rentabilidad media E(R)* es tomado como un valor fijo, para posteriormente realizar un análisis de sensibilidad sobre el nivel de riesgo total de la cartera.

Aplicando incrementos finitos sobre el valor de s se obtiene el siguiente resultado:

De nuevo, se pretende obtener el valor de la expresión correspondiente al incremento de la performance D´S* que ha venido provocado por el cambio en el nivel de riesgo:

Por lo tanto:

De modo que cada incremento unitario que se produce en el nivel del riesgo total de una cartera implica variaciones de performance, según el índice Sp*, en sentido contrario e iguales la expresión antedicha.

Toda esta problemática se resume en el gráfico 6.4. De nuevo, resulta conveniente realizar ciertas precisiones con el fin de obtener conclusiones adecuadas a partir del citado gráfico. En este caso, el gráfico tiene las siguientes características:

1) El eje de abcisas contiene el rango valores establecido para el riesgo total de una determinada cartera. Por lo tanto, las líneas que se representan permiten observar los cambios que, sobre el nivel de performance de la citada cartera, implican determinados incrementos en el citado nivel de riesgo. Dicho rango, como es habitual en todos los estudios realizados anteriormente, va desde el 0,5% hasta el 3,5%.

2) Se toma, de nuevo, como el valor del rendimiento medio de los activos libres de riesgo el 9%.

3) En el eje de ordenadas se indican los niveles de performance que se obtienen a partir de la medida propuesta Sp*, para una rentabilidad media de una cartera E(R)* que es constante para cada una de las líneas representadas.

4) El rango de variación contemplado para el rendimiento medio de la cartera va desde el 6% hasta el 12% mediante incrementos de un punto porcentual como base de variación.

Si se realiza nuevamente una comparación homogénea de este gráfico con el correspondiente al índice original de Sharpe, es decir, con el gráfico número 3.10., se vuelve a observar que ambas medidas evolucionan de modo idéntico ante cambios relacionados con el nivel de riesgo total de las carteras para valores constantes de su rentabilidad media.

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