Partiendo del índice
original de Treynor cuya información revelaba una prima de rentabilidad
por unidad de riesgo sistemático soportado por cada cartera, debe recordarse
que dicha medida de performance ofrecía rankings inconsistentes
cuando la rentabilidad
media de un determinado subconjunto de carteras no era superior
al rendimiento medio correspondiente a los activos libres de
riesgo:
Rf >
E(Rp).
Siendo el objetivo de este
capítulo ofrecer una medida de performance que sea coherente
tanto si se da la situación anómala anterior como
si no se da.
La expresión del mismo debe cumplir, como premisas iniciales:
Tp* = Tp*
( E(Rp) ; bp )
Donde:
El índice alternativo
Tp* que se propone a continuación
cumple las premisas indicadas, ya que tiene la siguiente expresión:
Tal que:
Tal y como ocurría en
el caso anterior, esta medida resulta de aplicación universal y sólo podría plantearse
el muy improbable caso, en el largo plazo, de que la rentabilidad
media de una cartera tomara valores negativos o que el nivel
de riesgo sistemático fuese negativo, por lo que esta
medida Tp* puede aceptarse para realizar clasificaciones de gestión
de un determinado conjunto de carteras aunque se produzcan en
algunas de ellas las anómalas situaciones reiteradamente
apuntadas.
Los valores de performance que el índice Tp* ofrecerá
para todas las carteras serán necesariamente positivos, al igual que ocurría con la
medida alternativa absoluta de Sharpe Sp*, puesto que tanto E(Rp)
como Rf y como bp tomarán valores positivos.
También en este caso,
se produce el hecho de que cualquier nivel de performance se
puede conseguir en cualquiera de los contextos inicialmente planteados,
de modo que no
necesariamente todas aquellas carteras cuya rentabilidad media
supere al rendimiento de los activos libres de riesgo ofrecerán
mayor performance que
las que no cumplan la premisa anterior.
La combinación de los
valores de rentabilidad media y de riesgo sistemático,
permiten ofrecer una expresión denominada como d que será mayor o menor que la
unidad para dos determinadas carteras en base a que una u otra
haya estado mejor gestionada, tomando como índice de referencia
el propuesto como alternativa absoluta a Treynor. De esta manera,
para
dos carteras A y B:
Tal que, se toma: d = TA* / TB*
A partir de la citada expresión,
la variable d tomará valores mayores que la unidad cuando
la cartera A esté mejor gestionada que la cartera B, y,
por otro lado, sus valores serán inferiores a la unidad
en caso contrario.
A raíz de la expresión
final que toma la variable d, una cartera habrá estado
mejor o peor gestionada que otra en base a los valores que presenten
los parámetros
fundamentales en el estudio,
como son la rentabilidad media y el riesgo sistemático
de las mismas.
Ejemplo
6.2 Sean
las carteras A y B y sean los siguientes los valores correspondientes
a sus rentabilidades medias y a sus niveles de riesgo sistemático:
Cartera
|
E(Rp) |
b(p)
|
A
|
14%
|
1,1
|
B
|
9%
|
0,45
|
Rf
|
12,5%
|
|
Con los datos ofrecidos, los niveles de performance de cada cartera
en base al índice Tp* son los siguientes:
De modo que,
en base al índice Tp*, la cartera B ha estado mejor gestionada
que la cartera A,
siendo que ésta había obtenido una rentabilidad
superior a la obtenida por los títulos libres de riesgo,
mientras que la cartera B no lo había conseguido. Aspecto
que también queda de manifiesto al aplicar la medida d cuyo resultado es
inferior a la unidad.
|
En relación con el mapa
de líneas
isoperformance derivado
del índice de performance Tp*, la expresión que estas líneas tomarán para
los diferentes valores de performance será la siguiente:
E(Rp) =
Tp* * bp * Rf
El mapa correspondiente queda
ilustrado en el gráfico 6.5.
La interpretación correcta de este gráfico precisa
de las siguientes observaciones:
- Tanto E(Rp) como bp
presentan únicamente valores positivos, de acuerdo con lo indicado anteriormente.
- Como se puede observar, las
líneas isoperformance son líneas rectas, tal y como indica su expresión:
y = a *
x
El corte con el eje de ordenadas se produce en el punto cero.
- Cada recta representada en el gráfico 6.5 es indicativa
de un conjunto de combinaciones posibles de rentabilidad media
y riesgo sistemático que presenta un determinado nivel de performance. Dicho nivel será mayor cuanto
más alejada se encuentre la correspondiente recta del
eje de abcisas.
- Tal y como se hizo con la
medida absoluta anterior, se puede indicar en el anterior mapa
el valor correspondiente a la rentabilidad media de los activos
de renta fija. De esta manera, se puede comprobar, tal y como
se ha indicado, que carteras con rentabilidad media menor que Rf
pueden obtener un nivel de performance superior a otras que superan
el citado valor. De
esta manera, en el gráfico 6.6, partiendo de la línea
isoperformance de nivel
T2, se puede comprobar
que contiene combinaciones cuya rentabilidad media es superior
a Rf, como C1, y otras en las cuales se produce el caso opuesto.
Si por otro lado, se tomara
la combinación
C2 contenida en la
recta de nivel de performance T3, se podría indicar que,
en primer lugar, la cartera C2 ha sido mejor gestionada puesto
que se encuentra en una recta más alejada del eje de abcisas
y, en segundo lugar, C2 presenta una rentabilidad media inferior
a Rf mientras que la correspondiente a C1 supera dicho valor.
Este análisis permite
corroborar, en este caso gráficamente, la afirmación
citada previamente, según la cual carteras cuya rentabilidad
media sea inferior a Rf pueden presentar niveles de performance
superiores a los obtenidos por carteras cuya rentabilidad supera
dicho valor.
Seguidamente, se realiza el
análisis de las alteraciones
que se producen en el índice de performance alternativo
al de Treynor Tp*, cuya coherencia resulta absoluta, ante cambios, en primer lugar, de la rentabilidad
media de las diferentes
carteras tomando valores constantes del riesgo sistemático
de las mismas y, en segundo lugar, ante variaciones del nivel de bp
de estas carteras dejando invariante la rentabilidad esperada.
Trabajando con incrementos finitos de las variables independientes en
cada uno de los dos casos, se procederá a observar los
cambios que se producen en la correspondiente variable dependiente,
es decir, en la performance.
Para un valor
constante del nivel
de riesgo sistemático b*, la correspondiente expresión
que une la rentabilidad media de una cartera E(R) y su nivel
de performance T*I es la siguiente:
De modo que esta expresión resulta
representativa del valor de performance T*I de una determinada
cartera para la cual se toma el nivel de riesgo sistemático
b* como un valor fijo, realizando análisis de sensibilidad
sobre la rentabilidad esperada.
Por tanto, el resultado derivado de la aplicación de
incrementos finitos sobre el valor de E(R) es el siguiente:
De nuevo, el objetivo de este desarrollo es la obtención
de la expresión correspondiente al incremento del valor
de la performance DT*, en base a la medida alternativa absoluta
propuesta, que la variación de la rentabilidad esperada
DE(R)
ha provocado:
Por tanto:
Del análisis realizado,
se puede conseguir una conclusión
fundamental , tal que cada incremento unitario que se produce en la rentabilidad esperada de una cartera conlleva incrementos de performance, según el índice Tp*,
en el mismo
sentido e iguales a (1 / Rf*b*).
Para la comprobación de los desarrollos realizados resulta
ilustrativo el estudio de la evolución de las funciones
representadas en el gráfico 6.7. En el mismo, se indican
las líneas de variación de performance, de acuerdo
con el índice de referencia, para valores constantes del riesgo
sistemático
y variando la rentabilidad media de las carteras. Para la interpretación
correcta de este gráfico conviene realizar previamente
las siguientes aclaraciones:
1) El eje de abcisas
viene representado por el rango de valores
establecido para la rentabilidad media de una determinada cartera. De esta manera,
las líneas resultantes representan las variaciones que,
sobre el nivel de performance de la citada cartera, conllevan
incrementos en la citada rentabilidad media. El rango establecido parte
del 6% hasta el 12%,
con incrementos de un punto porcentual.
2) De nuevo, se toma como rendimiento medio de
los activos de renta fija el 9%.
La necesidad de establecer este valor vuelve a surgir por el
motivo de ofrecer valoraciones con niveles concretos de performance
para, de este modo, poder comprobar la evolución de las
diferentes líneas representadas en el gráfico
3) En el eje de ordenadas se indican los citados niveles de performance de acuerdo con la medida propuesta
Tp*, para
un nivel de riesgo sistemático b* que permanece invariante en cada línea.
4) El rango de variación contemplado
para el riesgo sistemático va desde 0,1 hasta 1,3 tomando como base de variación
0,2.
Mediante la observación
de estas precisiones y comparando
este gráfico
con el 3.13, correspondiente a la misma problemática
para el índice de performance original de Treynor, se
puede observar la evidencia de que tanto la medida inicial como la alternativa
evolucionan de modo idéntico ante cambios ocurridos en la rentabilidad media
de las carteras para valores constantes del riesgo sistemático.
Como en otras ocasiones, el
segundo punto de este análisis se centra en el estudio de las variaciones del índice de performance propuesto
ante incrementos
del riesgo sistemático
de las carteras. De esta manera, se procede a seguir pautas similares
al caso anterior.
De esta manera, para un valor
constante del rendimiento medio de una cartera E(R)*, la relación existente entre
el nivel de riesgo sistemático b de una cartera y su nivel de performance,
de acuerdo con el índice alternativo al original de Treynor
de coherencia absoluta, es la siguiente:
A partir de esta expresión, se puede obtener el nivel de performance
T*I de cierta cartera cuyo nivel de rentabilidad media es E(R)*, valor que es tomado como fijo, para
posteriormente realizar un análisis de sensibilidad sobre
el nivel de riesgo sistemático de la cartera.
Aplicando incrementos finitos sobre el valor
de b se obtiene el siguiente resultado:
En este caso, se trata de obtener el valor de la expresión correspondiente
al incremento de la performance D´T* que ha venido provocado por el cambio
en el nivel de riesgo sistemático:
Por tanto:
De esta manera, cada incremento unitario que se produce en el nivel del riesgo sistemático de una cartera implica variaciones de performance,
según el índice Tp*, iguales a la expresión
antedicha. Como el
valor de b
es positivo, incrementos de su valor indican mayor nivel de riesgo
sistemático,por lo que la expresión toma un valor negativo.
Las precisiones realizadas
se resumen en el gráfico
6.8, siendo las siguientes
sus principales
características:
1) Los valores establecidos para el nivel
de riesgo
sistemático
de las carteras vienen explicitados en el eje de abcisas, de modo que, las líneas que se representan
permiten observar los cambios que, sobre el nivel de performance
implican determinados incrementos en el rango establecido de
niveles de riesgo sistemático. Dicho rango,
como como se ha indicado en el gráfico anterior, va desde
el valor 0,1
hasta el valor 1,3.
2) Se toma, de nuevo, como el valor del
rendimiento
medio de los activos
libres
de riesgo el 9%.
3) En el eje de ordenadas se indican los niveles de performance que se obtienen a partir de la medida
propuesta Tp*, para una rentabilidad media de una cartera
E(R)* que es constante para cada una de las líneas representadas.
4) El rango de variación contemplado para el rendimiento medio
de la cartera va desde el 6% hasta el 12%
mediante incrementos de un punto porcentual como base de variación.
Una nueva comparación homogénea de este gráfico con el correspondiente
al índice original de Treynor, es decir, con el gráfico 3.14, permite observar que
ambas
medidas evolucionan de modo idéntico ante cambios relacionados con el nivel de riesgo
sistemático de las carteras para valores constantes de
su rentabilidad media.
