Las medidas de performance alternativas de coherencia absoluta

IV El índice alternativo J*p

1) Estudio de las líneas isoperformance J*p

Por lo que hacía referencia al índice original de Jensen, medida indicativa de la rentabilidad diferencial, la situación anómala analizada con anterioridad que afectaba a su coherencia, haciéndole ofrecer rankings inconsistentes a la hora de valorar la gestión de las carteras, era aquélla en que la rentabilidad de los activos libres de riesgo era superior a la rentabilidad media del mercado de valores:

Rf > E(RM).

Por tanto, el objetivo resulta claro, ya que debe ofrecerse una medida de performance alternativa al índice de Jensen que realice clasificaciones de bondad de gestión de carteras que sean coherentes en cualquier entorno, o lo que es lo mismo, debe cumplirse:

Jp* = Jp* ( E(Rp) ; bp )

Donde:

De esta manera, para poder proponer un índice alternativo Jp* que sea absolutamente coherente, el estudio debe realizarse de forma análoga a los casos anteriores.

- Para evitar cambios de signo en las expresiones que relacionan a Rf con E(Rp) o E(RM), se debe cambiar esta diferencia por un cociente, en cuyo caso, siempre se producen valores positivos que podrán ser mayores o menores que la unidad según cada caso. Puede observarse en el caso de este índice que, aunque el hecho de que la rentabilidad media de las carteras no supere al rendimiento medio de los títulos libres de riesgo no implica inconsistencia alguna, también se incluye este tratamiento de cocientes en el primer sumando del índice, con el objetivo de que el estudio sea completamente coherente.

Por lo tanto, en base a lo citado anteriormente, se propone a continuación una medida de performance alternativa que cumple las premisas indicadas.

Su expresión es la siguiente:

Tal que:

Como ocurría en los dos casos anteriores, esta medida resulta de aplicación universal, por lo que puede aceptarse para realizar rankings de bondad de gestión de cualquier conjunto de carteras aunque se produzcan cualesquiera de las anómalas situaciones apuntadas anteriormente.

En este caso, sin embargo, no se puede determinar ningún rango para los valores de performance que el índice Jp* ofrecerá, ya que esta medida puede tomar tanto valores positivos como valores negativos en función de los niveles correspondientes a las variables que intervienen en el problema.

La confección del mapa de líneas isoperformance que resulta de la aplicación del índice de performance Jp* se puede realizar a partir del cálculo de la expresión de estas líneas para cada uno de los diferentes niveles de performance que se pueden producir:

Este mapa de líneas isoperformance queda indicado en el gráfico 6.9.

Gráfico 6.9

Cada recta representada en el gráfico 6.9 contiene un conjunto de combinaciones posibles cuyos niveles de rentabilidad media y de riesgo sistemático implican un determinado nivel de performance. Dicho nivel será mayor cuanto más alejada se encuentre la correspondiente función del eje de abcisas.


Ejemplo 6.3 Sean las carteras A y B y sean los siguientes los valores correspondientes a sus rentabilidades medias y a sus niveles de riesgo sistemático:

Cartera

E(Rp)

b(p)

A

15%

1,2

B

15%

0,4

Mercado

10%

Rf

12,5%




Con los datos ofrecidos, los niveles de performance de cada cartera en base al
índice Jp* son los siguientes:

JA* = (15/12,5) - (10/12,5) * 1,2= 0,24

JB* = (15/12,5) - (10/12,5) * 0,4= 0,88

De modo que, en base al índice Jp*, la cartera B ha estado mejor gestionada que la cartera A, ya que ésta había obtenido una rentabilidad similar a la obtenida por la cartera B con un nivel de riesgo sistemático superior, por lo que queda demostrado que el nuevo índice Jp* da resultados coherentes aunque estemos en un entorno donde la rentabilidad promedio del mercado es inferior a la de los títulos libres de riesgo.


2) Tratamiento de la rentabilidad y del riesgo sistemático en J*p

Con la finalidad de realizar un estudio completo, a continuación se procede al análisis de las variaciones producidas en el índice de performance alternativo al de Jensen Jp* de coherencia absoluta, ante cambios, en primer lugar, de la rentabilidad media de las diferentes carteras tomando valores constantes del riesgo sistemático de las mismas y, en segundo lugar, ante variaciones del nivel de bp de estas carteras dejando invariante la rentabilidad esperada.

Para valores constantes del nivel de riesgo sistemático b*, la expresión que une la rentabilidad media de una cartera E(Rp) y su nivel de performance J*I es la siguiente:

De esta manera, la expresión indicada resulta representativa del valor de performance J*I de una determinada cartera para la cual se toma el nivel de riesgo sistemático b* como un valor fijo, realizando análisis de sensibilidad sobre la rentabilidad esperada.

Y los desarrollos derivados de la aplicación de incrementos finitos sobre el valor de la rentabilidad media de la cartera es el siguiente:

Donde el valor correspondiente a DJ*, en base a la medida alternativa absoluta propuesta, tiene la siguiente expresión:

Tal que:

La conclusión fundamental que se deriva de este análisis es que, cada incremento unitario que se produce en la rentabilidad esperada de una cartera, conlleva incrementos de performance, según el índice Jp*, en el mismo sentido e iguales a 1 / Rf .

Esta reflexión se puede comprobar mediante la observación de la evolución de las funciones representadas en el gráfico 6.10. En el mismo, se indican las líneas de variación de performance, de acuerdo con el índice de referencia, para valores constantes del riesgo sistemático y variando la rentabilidad media de las carteras. La interpretación de este gráfico precisa de las siguientes aclaraciones:

1) En el eje de abcisas viene indicado el rango de valores establecido para la rentabilidad media de una determinada cartera. De modo que, las rectas resultantes representan las alteraciones que, sobre el nivel de performance de la citada cartera, se produce por los incrementos tomados en la citada rentabilidad media. El rango establecido parte del 6% hasta el 12%, con incrementos de un punto porcentual.

2) De nuevo, se toma como rendimiento medio de los activos de renta fija el 9% con el fin de ofrecer valoraciones con niveles concretos de performance para, de este modo, poder comprobar la evolución de las diferentes rectas representadas en el gráfico. Igualmente, debe establecerse un valor para la rentabilidad media del mercado, tomándose el 12%, por ser el extremo superior del rango establecido para la rentabilidad media de las carteras. No obstante, debe indicarse que podría haberse tomado cualquier otro valor.

Gráfico 6.10

3) En el eje de ordenadas, por otro lado se ofrecen los diferentes niveles de performance que pueden tomar las carteras, de acuerdo con la medida propuesta Jp*, para un nivel de riesgo sistemático b* que permanece invariante en cada línea.

4) El rango de variación contemplado para el riesgo sistemático va desde un extremo inferior de 0,1 hasta el extremo superior 1,3, tomando como base de variación 0,2.

La contrastación de este gráfico con el 3.17, correspondiente a la misma problemática para el índice de performance original de Jensen permite analizar el hecho de que la medida inicial y la alternativa propuesta evolucionan de modo similar ante cambios ocurridos en la rentabilidad media de las carteras para valores constantes del riesgo sistemático.

Para finalizar este análisis, el último punto del mismo consiste en el estudio de los cambios que se producen sobre la medida de performance alternativa al de Jensen ante incrementos del riesgo sistemático de las carteras.

De esta manera, para un valor constante del rendimiento medio de una cartera E(Rp)*, la relación existente entre el nivel de riesgo sistemático b de una cartera y su nivel de performance, de acuerdo con el índice alternativo al original de Jensen de coherencia absoluta, es la siguiente:

Mediante esta expresión, se puede obtener el nivel de performance J*I de una cartera con un nivel de rentabilidad media igual a E(Rp)*, valor que es tomado como fijo, para posteriormente realizar un análisis de sensibilidad sobre el nivel de riesgo sistemático de la cartera.

Aplicando incrementos finitos sobre el nivel de riesgo sistemático se obtiene el siguiente resultado:

Siendo la siguiente la expresión correspondiente a D´J*:

Por tanto:

En consecuencia, incrementos unitarios producidos en el nivel del riesgo sistemático de una cartera implican variaciones de performance negativas, según el índice Jp*, iguales a la expresión obtenida.

El gráfico 6.11 es representativo de esta situación. Las características del mismo son las siguientes:

1) El rango de valores establecido para el nivel de riesgo sistemático de las carteras viene indicado en el eje de abcisas, tal que, las líneas que se representan permiten observar los cambios que, sobre el nivel de performance implican determinados incrementos en el nivel de riesgo sistemático. Dicho rango, como en los últimos análisis, va desde el valor 0,1 hasta el valor 1,3.

2) Se toma, de nuevo, como el valor del rendimiento medio de los activos libres de riesgo el 9% y como rentabilidad del mercado de valores el 12%, indicando de nuevo que también sería aceptables valores inferiores a Rf.

3) Respecto al eje de ordenadas, en el mismo se indican los niveles de performance obtenidos a partir del índice propuesto Jp*, para una rentabilidad media de una cartera E(Rp)* constante para cada línea representada.

4) Igual que en los casos anteriores, el rango de variación contemplado para el rendimiento medio de la cartera va desde el 6% hasta el 12% mediante incrementos de un punto porcentual como base de variación.

En este caso, el gráfico indicado se debe analizar con su homólogo del índice original de Jensen, es decir, con el gráfico 3.18. Este contraste permite observar que, definitivamente, ambas medidas evolucionan de modo similar ante cambios relacionados con el nivel de riesgo sistemático de las carteras para valores constantes de su rentabilidad media.

En cualquier caso, la validez del nuevo índice no tiene ninguna excepción, por lo que su garantía de aplicabilidad es completa.

Gráfico 6.11

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