Facultad de Economía y Empresa
Universidad de Zaragoza

Rentas

1) Concepto

¿Qué tienen en común todos estos ejemplos?

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  • Un alquiler en el que todos los meses el inquilino nos paga una mensualidad.
  • El paro (cobro por la prestación de desempleo).
  • La nómina que todos los meses cobra un empleado.
  • La hipoteca que todos los meses tenemos que devolver.

A diferencia de las operaciones simples que vimos la semana pasada, en todos estos ejemplos hay un "conjunto de capitales que se distribuyen a lo largo del tiempo". Esa es la definición de una renta.

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Hay muchos tipos de rentas, en algunas todos sus términos sin iguales (constantes), otras son variables. A veces lo que cambia es la frecuencia. Otras son continuas, como un grifo del que sale agua.

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¿Qué haremos con las rentas? Nos interesará compararlas, para ello calcularemos su valor actual (VA) y su valor final (VF). Utilizaremos la ley de capitalización compuesta o de descuento compuesto.


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Puedes descargar una hoja de cálculo con los ejemplos que veremos en teoría -> [02-Teoria.xls]. A modo de aperitivo, porque en la clase de prácticas se amplía mucho más.

 


1.2)
Valor final de una renta

Para calcular el valor final de una renta trasladaremos los capitales de cada año al momento final. La imagen muestra una renta de 1.000€ anuales, que llamaremos (c) durante cuatro años, de la que queremos saber su valor final. La tasa de interés es el 10%.

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Recordemos la fórmula de la capitalización compuesta:

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Así que, sumando todo, el año 4 tendremos 4.641€. Es el Valor Final de una renta. A veces se le llama Vn, otras veces Sn¬i. La fórmula de la hoja de cálculo Excel utiliza VF. Vamos a suponer que el capital es 1€. Es lo que se denomina una renta unitaria. Se trata de una la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón 1 + i [3º de la ESO].

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Podemos comprobar que [(1+0,1)^4-1]/0,1 es igual a 4,641. Una renta de 1 euro se ha convertido en 4,641€. Si la renta es de 1.000€ multiplicando obtendremos 4.641€. Es decir, sobre la fórmula anterior simplemente multiplicamos por la cuantía "c". Vamos a deducir de donde sale la fórmula anterior. Pero antes una curiosidad sobre el matemático Carl Gauss enlace wikipedia que nos servirá como idea de partida.

En lo que se entretenía Gauss cuando tenía 7 años

Un día en clase de matemáticas el profesor pidió a los estudiantes que sumaran los 100 primeros números, es decir 1+2+3+...100. Karl Gauss h inmediatamente exclamó "ya está".

En vez de sumar se le ocurrió que la suma del primer término y el último era siempre 101. Es decir, 1 +100 = 101, 2 + 99 = 101, 3+98=101. Entonces la suma es igual a 101*50 = 5050. Había deducido la fórmula de la suma de los n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primer término y el último.

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En primer lugar cambiaremos la notación, de forma que a cada uno de los términos le llamaremos a1, a2, etc.

Ahora vamos a poner los términos uno debajo de otro y los vamos a sumar. Pero teniendo en cuenta dos cosas:

En la parte de la derecha tenemos las sumas de a1+a2...vamos a sustituirlo.

y ahora se trata de continuar despejando.

Si la renta no es unitaria, que es el caso más frecuente bastará con multiplicar por el término de la renta, que es c.

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Con la hoja de cálculo Excel se utiliza la función VF(tasa;nper;pago;va;tipo). La ayuda (http://office.microsoft.com/es-es/excel-help/vf-HP005209099.aspx). Sus argumentos son:

Valoremos una renta de 1000€ durante 4 años, al 10% anual ¿Cuál es el valor final?

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1.3)
Valor actual de una renta

Para calcular el valor actual de una renta trasladaremos los capitales de cada año al momento inicial. La imagen muestra una renta de 1.000€ anuales durante cuatro años, de la que queremos saber su valor actual. La tasa de interés es el 10%.

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Recordemos la fórmula del descuento compuesto de un capital:

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Vamos ahora al caso de que no tenemos un solo capital sino una renta. Lo podemos hacer a mano, actualizando cada uno de los capitales al momento actual:

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Valoremos una renta de 1000€ durante 4 años, al 4% anual ¿Cuál es el valor actual?


1.3 a)
Relación entre el valor final y actual de una renta

Si conocemos el Valor Final de una renta para calcular el valor actual solo hay que actualizar dicho valor final, a la tasa que nos digan. En nuestro ejemplo, el valor final eran 4.641€. Para obtener el valor actual descontaremos dicha cantidad durante 4 años al 10%, obteniendo el valor inicial, 3.169,87€.

Y podemos obtener una fórmula para obtener el Valor Actual de una renta. Cabe recordar que esta fórmula sirve solo para rentas constantes.

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1.3 b)
Número de periodos

¿Y si de esas fórmulas queremos despejar la "n"? Para despejar la "n", como vimos con la fórmula de la capitalización compuesta, se utilizan logaritmos.

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Pero es más recomendable usar la función NPER().

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1.3 c)
Tipo de interés o tasa

¿Y si de esa fórmula queremos despejar la "i"?

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Eso es un polinomio y no tiene una solución algebráica. Antes se hacía por aproximaciones sucesivas, es decir, prueba y error (¡a ojo!) o por procedimientos de cálculo numérico, otros usaban las aproximaciones de Schneider, la fórmula de Baily o, mucho más adecuado, las iteraciones de Newton-Raphson (http://www.eumed.net/ce/2012/agl.html).

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La hoja de cálculo Excel nos ayuda a realizar esos cálculos utilizando la función TASA().

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aTipos de rentas

Podemos clasificar las rentas según diversos criterios. Por ejemplo, rentas prepagables y postpagables. Rentas temporales y perpepuas. Rentas inmediatas, diferidas y anticipadas. Rentas constantes y variables. Rentas periódicas y no periódicas. Rentas discretas y continuas. Rentas ciertas y aleatorias. Rentas fraccionadas.

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1.4)
Rentas prepagables y postpagables

Normalmente el alquiler de un piso se paga por anticipado. Es decir, pagan el mes completo el primer día de cada mes. La causa es que muchos podrían estar un mes y luego irse sin pagar. Es un ejemplo de renta prepagable. En cambio la nómina se suele cobrar al final de mes. La causa es que muchos trabajadores podrían cobrar y luego no acudir al trabajo. Es un ejemplo de renta postpagable.

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Desde el punto de vista financiero no es lo mismo porque la renta prepagable puede producir un interés durante ese periodo de tiempo.

Para convertir el Valor Actual de una renta prepagable en postpagable lo que hay que hacer simplemente es multiplicar por (1+i) el Valor Actual de la renta postpagable. Por ejemplo, hemos alquilado un local nuestro a un inquilino, durante 5 años, por 1.000€ a pagar cada año. El Valor Actual de una renta prepagable de 1.000€ durante 5 años al 4% anual es 4.629,90. Si esa renta es postpagable, es decir, si nos paga 1.000€ al finalizar cada año, el valor actual será menor, concretamente 4.451,82. Es menor porque es "peor" que sea postpagable ya que nos dan el dinero más tarde. Para pasar de valor actual prepagable a valor actual postpagable, podemos multiplicar 4.451,82*(1+0,04)=4.629,90.

Entonces la cuantía prepagable = cuantía pospagable/(1+i). En la Excel es más sencillo, basta on cambiar el argumento Tipo, que es el número 0 para las rentas postpagables o el número 1 para las prepagables. Si tipo se omite, se calculará como 0.


1.5)
Rentas temporales y perpetuas

En las rentas temporales el número de términos es finito. Esta es la situación más habitual. Por ejemplo, uno puede cobrar lanómina como máximo hasta que se jubile. O el paro hasta que se le agota. Sin embargo, en ocasiones la renta es perpetua. Por ejemplo, a la hora de valorar un campo de cultivo que está alquilado, puede considerarse como criterio que es una renta perpetua. A veces las emisiones de bonos del Estado o las famosas "participaciones preferentes" son perpetuas, es decir, no se va a devolver el principal, sino unos intereses de forma infinita. aOjo, como se trata de una serie convergente el Valor Actual de una renta perpetua no es infinito. En la Wikipedia está bien explicado con un dibujo (http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica). Un ejemplo es cortar un folio por la mitad. Se corta una mitad en dos trozos. Se vuelve a cortar por la mitad. Y así sucesivamente. Aunque lo cortes infinitas veces siempre es un folio. Lo que no tiene sentido es calcular el valor final porque son infinitos años.

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aUn campo alquilado

Tenemos un campo de 1 hectárea [10.000 m2] que se alquila a 1.000€ cada año. Una idea simple para obtener una primera valoración es aplicar la fórmula de la renta perpetua. Si suponemos un tasa del 4%, dado que VA=c/i, entonces 1.000/0,04= 25.000€ cada hectárea.

aBonos perpetuos del Rey Alfonso emitidos en 1925. Rentabilidad, riesgo y liquidez
Un bono es un instrumento financiero de deuda que utilizan las empresas o las administraciones para financiarse. Un ejemplo de renta perpetua son los bonos perpetuos que desde hace muchos años emiten las empresas y las administraciones. En la imagen vemos una referencia del año 1925 (http://hemeroteca.abc.es/nav/Navigate.exe/hemeroteca/madrid/abc/1925/11/08/054.html). Los propietarios de esos bonos tienen todavía derecho a cobrarlos, aunque muchas emisiones son amortizadas antes de que venzan.

La deuda perpetua ha estado de actualidad estos años porque las Participaciones Preferentes w son una forma de deuda perpetua.

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Desde el punto de vista financiero:

  • Uno puede comprar acciones de una empresa. Eres propietario y en principio es para toda la vida. Es un producto con riesgo porque vas a cobrar unos dividendos que pueden ser muy elevados si a la empresa le va bien pero escasos o incluso nada si la empresa no gana dinero. Si la bolsa sube uno puede venderlas y gana dinero. Pero si la bolsa baja puedes perder dinero. Si la empresa quiebra posiblemente esas acciones no valgan nada o muy poco.
  • Un poco menos arriesgadas son las participaciones preferentes. En este caso recibes unos intereses durante toda la vida. Si la empresa va regular seguirás cobrando intereses, no como los accionistas que se quedarán sin dividendo. Puedes vendérselas a otro. Es menos arriesgado que ser accionista pero si la empresa quiebra en la cola estás el penúltimo, porque eres casi como un accionista.
  • Menos arriesgado es tener el dinero en el banco en un depósito o plazo fijo. Que cuenta con una garantía del Fondo de Garantía de Depósitos (http://www.fgd.es). Si el banco quiebra el dinero es garantizado por dicho Fondo. Los intereses son bajos, apenas cubren la inflación. Si necesitas el dinero lo puedes recuperar con una penalización.

Las empresas siguen usando esta fórmula para financiarse. Noticia:

Puedes buscar todo tipo de bonos, algunos casi perpetuos, en Screener Yahoo Finance (http://screener.finance.yahoo.com), Bond Screener Morningstar (http://finra-markets.morningstar.com/BondCenter/Default.jsp) [click en search] y los debates de Rankia (http://www.rankia.com/foros/preferentes/temas)... ¿hay algo que te llame la atención, por ejemplo Abengoa 8,5%, Zinkia 9,75%...?

 


1.6)
Rentas diferidas, anticipadas e inmediatas

En las rentas diferidas el valor actual se calcula con anterioridad al comienzo de la renta. Por ejemplo, tengo un piso en propiedad pero dentro de seis meses me traslado de ciudad por motivo de trabajo durante un año y tengo previsto alquilarlo. Calcularé el valor "actual" a la fecha de dentro de los 6 meses, y luego actualizo ese capital a fecha de hoy.

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En las rentas anticipadas el valor final se calcula en un momento posterior a la finalización de la renta. Siguiendo con el ejemplo anterior, a la vuelta a la ciudad podemos calcular el valor final de ese alquiler, teniendo en cuenta que finalmente solo lo alquilamos durante los siete primeros meses y después el piso se quedó vacío.

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En las rentas inmediatas ni hay diferimiento ni anticipación.


1.7)
Rentas constantes y variables

En las rentas de cuantía constante siempre se cobra o paga lo mismo. Por ejemplo, la nómina mensual que cobra un empleado.

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Por el contrario, en las rentas de cuantía variable los términos son diferentes. Puede ser que obedezcan a un crecimiento determinado, por ejemplo una renta que crece cada mes un porcentaje (progresión aritmética) o ese crecimiento sea exponencial o de cualquier otro tipo. En este caso podremos encontrar fórmulas que simplifiquen la operatoria. Pero también hay rentas variables cuyos términos son distintos cada vez y en ese caso habrá que capitalizarlas y descontarlas "a mano".

En ese caso habrá que capitalizarlas y descontarlas "a mano". No obstante la hoja de cálculo simplifica mucho su cálculo. Para ello, la Excel dispone de la función VNA(), abreviatura de Valor Neto Actual. La ayuda está en (https://support.office.microsoft.com/es-ES/article/VNA-funci%C3%B3n-VNA...). Su sintaxis es VNA(tasa;valor1;valor2; ...).

Vamos a calcular el valor actual de una renta de 1000€ el primer año, 2200€ el segundo, 500€ el tercero y 2000€ el cuarto, al 10%. El resultado es 4.469,96€.

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Lógicamente esta fórmula sirve también para rentas constantes y es una de las favoritas de Excel de los profesionales de las finanzas.


1.8)
Rentas periódicas y no periódicas

En las rentas periódicas se recibe la cuantía con una frecuencia. Por ejemplo, el salario se recibe el último día de cada mes. Pero puede haber rentas que una veces se cobren con distintas frecuencias. Por ejemplo, muchas empresas en Navidad pagan el día 20 de diciembre, para que los empleados tengan un poco más de liquidez. Ese sería un ejemplo de renta no periódica.

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En ese caso habrá que capitalizarlas y descontarlas "a mano". La función VNA() no puede utilizarse porque solo sirve para cuando las rentas son periódicas. Pero se puede utilizar la función VNA.NO.PER() de Excel. La ayuda está en (https://support.office.microsoft.com/es-ES/article/Funci%C3%B3n-VNANOPER). La sintaxis es =VNA.NO.PER(tasa;valores;fechas).

Veamos a modo de ejemplo el valor actual de unas rentas el 5 de marzo de 2017. Las rentas son variables y no periódicas: 1.000€ el 3 de enero de 2.020, 2.200€ el 2 de mayo de 2021 y 500€ el 1 de junio de 2025 al 10%. El resultado es 2.470,87€.

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1.9)
Rentas discretas y continuas

Normalmente se trabaja con rentas discretas, que son aquellas en las que la cuantía está asociada a intervalos de tiempo, por ejemplo, el salario que se cobra cada mes. Pero también pueden considerarse rentas continuas, en las que los capitales están separados entre sí por períodos infinitesimales. Tienen interés desde el punto de vista teórico (en vez de sumatorios se usan integrales) pero también se pueden encontrar ejemplos reales. Por ejemplo una empresa petrolera que está valorando un pozo de petróleo del que fluje el oro negro de forma continua. Aunque incluso en este caso podría discretizarse, considerando que ese pozo tendrá también una producción mensual.

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Puede ampliarse información en (http://www.matematicas-financieras.com/Rentas-Continuas-I-P23.htm).


1.10)
Rentas ciertas y aleatorias

Normalmente se trabaja con rentas ciertas, que son aquellas cuyos parámetros son conocidos. Se sabe:

Pero también pueden considerarse rentas aleatorias, en las que algún parámetro es incierto y depende otros factores. Se desarrollan en un ambiente de riesgo o incertidumbre, sustentado en la probabilidad de ocurrencia en cobrar o pagar las anualidades, las fechas, etc. Por ejemplo, si estamos valorando el cobro de una pensión ¿qué ponemos? ¿que la persona se va a morir cuando cumpla 80 años, por ejemplo? No lo sabemos, así que habrá que usar tablas de esperanza de vida y calcular probabilidades. Este tipo de rentas las utilizan mucho las compañías de seguros. Forma parte de la Matemática Actuarial, se imparte en la asignatura Operaciones actuariales y de seguro (http://titulaciones.unizar.es/asignaturas/27538/). Hay incluso grados que se especializan en esta temática, como este de la Universidad Rey Juan Carlos (https://www.urjc.es/estudios/grado/536-economia-financiera-y-actuarial).

Los ganadores del Sueldo Nescafé (https://www.nescafe.es/sueldo/) reciben 2.000€ al mes durante toda la vida ¿Cuánto le cuesta eso a Nestle?

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Necesitamos conocer entre otros datos las Tablas de Mortalidad.

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aMatemáticas actuariales
La esperanza de vida al nacer según el Banco Mundial (http://datos.bancomundial.org/indicador/SP.DYN.LE00.IN). El Instituto Nacional de Estadística publica las Tablas de Mortalidad, desde 1945 (http://www.ine.es/dynt3/inebase/es/index.htm?...). Ir a -->[Resultados detallados serie 1991-2014] --> [Tablas de mortalidad de la población de España 1991-2015] ->> [Esperanza de vida a los 65...]. Para los varones, es de 18.79 años y para las mujeres de 22.65 años. Pero además del sexo o la edad hay que contemplar otros factores, como la profesión. La tabla, tomada de Maphre, muestra la esperanza de vida de una persona con 60 años según su profesión (datos de Francia para el año 2000). Naturalmente tendríamos que considerar si es fumador, el nivel de renta y otras muchas variables.

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1.11) Rentas fraccionadas

En las rentas fraccionadas el periodo entre términos es inferior al año: son rentas mensuales, trimestrales, semestrales, etc. Como sabemos, por la Ley de Equivalencia Financiera, es lo mismo tener 1.000€ en el banco al 1% de interés mensual que tener 1.000€ al 12,683% anual. La fórmula:

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Recordemos que si tengo 1.000€ invertidos en capitalización compuesta al 1% mensual, al final del año tendré 1.126,83€, aplicando la fórmula anterior.

Entonces es equivalente que nos digan un 1% mensual que un 12,683% anual, que es el Tipo de Interés Efectivo (TIE) como vimos en la lección anterior.

Naturalmente se pueden aplicar las funciones de Excel, pero recordando que TASA y NPER deben ser coherentes, si son años, ambas en años y si son meses las dos en meses. También se puede usar la función INT.EFECTIVO(tasa nominal; número periodos por año) (https://support.office.com/es-es/article/INT-EFECTIVO-funci%C3%B3n-INT-EFECTIVO-910d4e4c-79e2-4009-95e6-507e04f11bc4) que permite convertir una tasa nominal en efectiva.

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2) Operaciones de constitución

En las operaciones de constitución se deposita un dinero periódicamente y al final tendremos un capital que se ha ido acumulando, así como los intereses. La siguiente figura muestra un esquema típico de una persona que ahorra un dinero cuando es joven (operación de constitución) y luego recibe una renta para completar su pensión de jubilación.

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Veamos algunos de los productos más habituales que son operaciones de constitución:

aRentabilidad de Planes de Pensiones y Fondos de Inversión

Antes de contratar un plan o un fondo conviene consultar Morningstar (http://tools.morningstar.es/0sgtldtyat/fundquickrank/default.aspx) [Click en pestaña Rentabilidad] -> [10 a % anualizada]. Morningstar es una empresa multinacional que suministra información de ciento de miles de fondos de inversión, planes de pensiones, acciones y otros productos financieros.

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Premios Morningstar, los "Goya de la Inversión" (http://www.eleconomista.es/interstitial/volver/nissan/mercados-cotizaciones/noticias/5525117/02/14/Quinta-edicion-de-los-Goya-de-la-Inversion-.html). [Premios 2016] Francisco G. Paramés f.

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Resultados en:

(http://www.morningstar.es/es/news/120894/premios-morningstar-2014---los-mejores-fondos.aspx), los de 2015 y 2016.

En Internet podemos encontrar otras herramientas online, como este simulador de planes de pensiones de Bankinter (https://www.bankinter.com/www/es-es/cgi/ebk+fon+pens_simula?tipo_sim=V), que incluye además un comparador de fondos y planes de pensiones (https://www.bankinter.com/www/es-es/cgi/ebk+fon+traspaso_externo_a_bk?tipo_producto=cp&acc=primera&ext-solapa=fondos&ext-subsolapa=planes_de_pensiones).

Caso Paramés: [Paramés deja Bestinver] [Un mes sin Paramés] [Top 5] [El más vendido].


EJERCICIO:
Busca fondos de Ibercaja.

 

aOjo con las comisiones

En los planes de pensiones y jubilación hay que tener en cuenta las comisiones, que a veces son muy elevadas. Es la letra pequeña que hay que leer, como podemos leer en El Economista (http://www.eleconomista.es/fondos/noticias/1750610/12/09/2/La-comision-del-plan-de-pensiones-le-da-para-comprarse-un-coche.html) o los foros de Rankia (http://www.rankia.com/foros/fondos-inversion/temas/1009291-estadisticas-planes-pensiones-10-anos)

En el trabajo de Pablo Fernández et al (https://papers.ssrn.com/sol3/papers2.cfm?abstract_id=2913216) se pone de manifiesto que:

  • De diciembre 2001 a diciembre 2016, la rentabilidad anual media del IBEX 35 fue 5,42% y la de los bonos del Estado a 15 años 5,27%. La rentabilidad media de los fondos de pensiones fue 2,03%
  • Entre los 335 fondos de pensiones con 15 años de historia, sólo 3 superaron la rentabilidad del IBEX 35 y la rentabilidad de los bonos del Estado a 15 años. 6 fondos tuvieron rentabilidad promedio ¡negativa!

En cuanto a los fondos de inversión, el trabajo de Pablo Fernández et al (http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2720365) (http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2724056) En el periodo diciembre 2000 - diciembre 2015, la rentabilidad anual media del IBEX 35 fue 4,62% y la de los bonos del Estado a 15 años 5,40%. La rentabilidad media de los fondos de pensiones fue 1,58%

  • h La rentabilidad media de los fondos de inversión en España en los últimos 15 años (1,90%) fue inferior a la inversión en bonos del estado a 15 años (5,4%) y a la inversión en el IBEX 35 (4,6%) h
  • Sólo 18 fondos de los 632 con 15 años tuvieron una rentabilidad superior a la de los bonos del estado a 15 años.

Las comisiones están en los folletos y conviene leerlas. Por ejemplo, el siguiente Fondo de Pensiones de Renta Variable (https://lt.morningstar.com/nruxm....) o este otro, el S&P 500 ETF (VOO) (https://advisors.vanguard.com/...) el que aconseja Warren Buffett a su esposa cuando enviude, o al propio Obama. Noticia: 279.812 aragones tienen un plan de pensiones (http://www.heraldo.es/noticias/aragon/2017/02/15/los-planes-pensiones-privados-pierden-casi-000-participes-aragon-cuatro-anos-1159016-300.html).

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En resumen...

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2.1)
Valoración de las operaciones de constitución

En el caso de las operaciones de constitución, normalmente nos va a interesar:

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En el caso general, podemos considerar que las aportaciones son diferentes cada año y que el tipo de interés varía, con lo que lo más adecuado es realizar una tabla con una hoja de cálculo que en diversas columnas vaya mostrando los capitales finales, los intereses, etc. Si las aportaciones son constantes y el tipo de interés es siempre el mismo, se puede asimilar a una renta constante, inmediata y prepagable y aplicar la fórmula correspondiente. Pero si las aportaciones son distintas no es posible aplicar fórmulas ni funciones y hay que realizar una "Tabla de Constitución" como la mostrada en la siguiente figura. La hoja de cálculo simplifica mucho su valoración, al poder realizar las tablas de constitución de forma sencilla.

En este caso se trata de un fondo de 4 años, con 4 aportaciones distintas a principio de año. El tipo de interés también varía cada año. Se introduce el dato del tipo de interés y las aportaciones y el modelo calcula el capital final, en este caso 18.340,6€.

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aPara seguir aprendiendo


Guía práctica productos inversión CEACCU (http://www.ceaccu.org/publicaciones/guias/guia-practica-sobre-ahorro-e-inversion/).

Sobre planes de pensiones y planes de jubilación. http://revista.consumer.es/web/es/20030401/economia_domestica/58896.php.

 

Ir a CiberContaCitar como: Serrano Cinca C. (2017): "Lecciones de Finanzas", [en línea] 5campus.org <http://www.5campus.org/ifinanzas> [y añadir fecha consulta] Inicio leccion
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