El índice de performance
propuesto por Sharpe (1966) es también denominado como
ratio
premio-variabilidad,
siendo su expresión la siguiente:
La razón de su denominación
es inmediata: el numerador de la expresión denota el exceso o prima de rentabilidad que la cartera p analizada reporta
con respecto a la rentabilidad que el inversor puede obtener
mediante activos sin riesgo Rf; mientras que el denominador es
la desviación
típica de la variable aleatoria rentabilidad, indicador de la variabilidad de Rp.
Este denominador es, por tanto, la raíz cuadrada de la
varianza y, en consecuencia, la expresión contempla el
riesgo
total de la cartera.
Abundando, el índice ofrece el exceso de rentabilidad sobre el
rendimiento sin riesgo que la cartera ofrece por unidad de riesgo
total. Este es el sentido financiero del índice de Sharpe.
Por lo tanto, cuanto
mayor sea el valor
que este índice alcance para una cartera, mejor gestionada habrá estado ésta.
Para demostrar que la expresión
propuesta cumple con los requisitos esenciales de una medida
de performance, a continuación se procede a realizar las
derivadas
parciales de dicha expresión sobre las dos componentes
relevantes, con el
fin de comprobar el signo que toman dichas derivadas parciales.
En particular:
Esta afirmación no tiene ninguna fisura, ya que siempre se cumplirá
que la desviación típica sea positiva.
En este caso, el cumplimiento
del signo negativo viene condicionado a que el numerador sea positivo, cuestión que, en plena ortodoxia
financiera, debe cumplirse, es decir E(Rp) debe ser un valor superior a
Rf para que el decisor
financiero acepte una cartera formada por activos arriesgados.
No obstante, este hecho no siempre se cumple como demuestran Ferruz y Sarto (op.cit.) y Sarto
(op.cit.), lo que implica una problemática que se desarrollará
en capítulos posteriores.
Cumpliendo los requisitos especificados
se puede aceptar el índice de Sharpe como expresión
indicativa de la performance de las carteras.
Siguiendo la metodología
ya expuesta, el mapa de líneas isoperformance que ofrece
esta medida sería el indicado en el gráfico 3.5.
Dichas líneas isoperformance tendrán la siguiente
estructura para los diferentes valores Sp* de
performance:
De esta manera, la expresión
obedece a una función:
y = a + b*x
Luego, las líneas isoperformance
serán
rectas donde la ordenada
en el origen de todas ellas será a, es decir, Rf y la
pendiente de la recta dependerá del valor de performance
que representen. El valor del índice Sp* indicará, por tanto, la
tangente del ángulo
que forma cada recta con el eje de abcisas.
De esta manera, partiendo, por ejemplo, de la cartera A que viene
definida por sus parámetros E(RA) de rentabilidad y sA de riesgo, su nivel de performance tendrá la siguiente expresión:
Por lo tanto, la línea
que pasa por el punto A y que corta al eje de ordenadas por el
punto Rf es una línea
isoperformance cuya pendiente coincide con el valor de sA,
como se observa en el gráfico 3.6.
A partir de esta línea,
se pueden determinar las zonas que contienen combinaciones preferidas a la de partida y, asimismo, las zonas
correspondientes a carteras dominadas por A, según muestra
el gráfico
3.7.
En dicho gráfico se
resaltan los cuadrantes que, a priori, contienen combinaciones
cuya performance puede ser mayor, igual o menor que la correspondiente
a la cartera de partida. Aquéllas que presentan un valor
semejante al de A están contenidas, por definición,
en la línea isoperformance. Mientras que, en el gráfico,
se ilustran las zonas correspondientes a carteras de performance superior (mediante líneas discontinuas verticales) e inferior
(líneas discontinuas horizontales).
De esta manera, se soluciona
el problema de determinación gráfica de las zonas
que contienen combinaciones con performance mayor y menor.
Ejemplo
3.1. Poseemos
una cartera A que se ha comportado durante los últimos
doce meses en términos de rentabilidad mensual de la siguiente forma.
Los datos en porcentaje son los siguientes:
|
Período |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Rentabilidad
(A) |
1 |
1.5 |
2 |
-1 |
-0.5 |
1.5 |
2 |
0.5 |
2 |
1 |
0.5 |
1 |
A partir de
estos datos obtenemos la rentabilidad media mensual y la desviación
típica de esta cartera. Los resultados en porcentaje son los siguientes:
Cartera
|
Rentabilidad
Media |
Desviación
Típica
|
A
|
0,958
|
0,923
|
Conociendo que la rentabilidad media mensual de los activos libres del
riesgo
es del 0,25 %, podemos conocer cual es el ratio premio-variabilidad de Sharpe:
La línea
isoperformance que tenga una pendiente de 0,767 contendrá a
la cartera A y a todas las carteras con un índice de Sharpe
similar.
Comparemos ahora nuestra cartera
A con otras cuatro carteras que se han comportado en términos
de rentabilidad mensual de la siguiente forma. Los resultados
en porcentaje son los siguientes:
|
Período |
Rentabilidad
(B) |
Rentabilidad
(C) |
Rentabilidad
(D) |
Rentabilidad
(E) |
|
1 |
1 |
0.5 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1.5 |
1.5 |
2 |
|
3 |
0.5 |
2 |
2 |
3 |
|
4 |
-1 |
-0.5 |
-0.5 |
-1.5 |
|
5 |
-0.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
|
6 |
2 |
1 |
1.5 |
1 |
|
7 |
1.5 |
1.5 |
1.5 |
3 |
|
8 |
1 |
0 |
1 |
0.5 |
|
9 |
1.5 |
2 |
2 |
3 |
|
10 |
1 |
1.5 |
1.5 |
1.5 |
|
11 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
12 |
2 |
1.5 |
1 |
1.5 |
Las rentabilidades
medias mensuales y las desviaciones típicas de estas carteras
son las siguientes:
Cartera
|
Rentabilidad
Media |
Desviación
Típica
|
B
|
0,875
|
0,869
|
C
|
0,833
|
0,964
|
D
|
1,041
|
0,802
|
E
|
1,333
|
1,280
|
De los resultados obtenidos
en este cuadro, podemos apreciar que nuestra cartera A es directamente comparable
sólo con las carteras C y D. Observamos que la cartera C presenta una rentabilidad
media inferior a la nuestra, además de tener una mayor
desviación típica, por tanto esta cartera estará
por debajo de la línea isoperformance de la cartera A.
Por el contrario la cartera D se comporta de una mejor forma
en términos de rentabilidad y riesgo que nuestra cartera
A, por lo que se situará por encima de la línea
isoperformance de la A.
Sin embargo las carteras B y E no son directamente
comparables con la cartera A, por lo que será necesario
calcular el ratio premio-variabilidad de Sharpe para conocer si han estado mejor gestionadas
que la nuestra. Los resultados son los siguientes:
|
SA |
0,767 |
|
SB |
0,719 |
|
SC |
0,604 |
|
SD |
0,986 |
|
SE |
0,846 |
Como era de esperar las carteras
C y
D presentan respectivamente unos índices de Sharpe inferior
y superior con respecto a nuestra cartera A. Sin embargo observamos que la cartera B ha estado peor gestionada
que la A de acuerdo
con el ratio de Sharpe, por lo que estará por debajo de
nuestra línea isoperformance. Sucede todo lo contrario
con la cartera E
que presenta un ratio de Sharpe superior al de la cartera A, por lo que estará situada
por encima de nuestra línea isoperformance.
De acuerdo con el gráfico
3.5, las líneas isoperformance de las cinco carteras estudiadas
quedan representadas de la siguiente forma:
 |
A continuación se va
a realizar el análisis de las variaciones que sufre el índice
de performance de Sharpe ante cambios, en primer lugar, de la rentabilidad media para valores constantes de la desviación
típica y, en segundo lugar, ante variaciones de la desviación típica dejando invariante la rentabilidad
esperada de la cartera.
Este análisis, desde
un punto de vista matemático riguroso, debería realizarse
a partir de las derivadas parciales que se han indicado anteriormente. No obstante,
la aplicación de la derivación implica variaciones
infinitesimales de las variables objeto de análisis, mientras
que el estudio posterior se realizará con variaciones
discretas de las mismas. Por ello, el método de trabajo será
la utilización de incrementos finitos de las variables independientes en
cada cuestión para observar los incrementos producidos
en la variable dependiente, es decir, en la performance.
En el primero de los casos
que se ha citado anteriormente, se toma de referencia la siguiente
expresión:
Es decir, la expresión
indica el valor de performance SI de una determinada cartera
para la cual se toma el nivel de riesgo s* como un valor fijo, realizando análisis de sensibilidad
sobre la rentabilidad esperada.
De este modo, aplicándose
un incremento sobre el valor de E(R), se cumplirá que:
El objetivo se centra en hallar la expresión correspondiente
al incremento del valor de la performance DS que ha venido provocado por la variación de la rentabilidad esperada
DE(R):
Por tanto: 
Por lo tanto, cada incremento unitario
en la rentabilidad esperada de una cartera implica un incremento
de performance en el mismo sentido e igual a 1 / s*
, lo que pone de manifiesto que cuanto mayor es el nivel de riesgo
soportado menor será el aumento del ratio de Sharpe ante
incrementos adicionales de la rentabilidad esperada.
Esta cuestión se puede
observar en el gráfico
3.9. Su interpretación
precisa de las siguientes aclaraciones:
1) El eje de abcisas presenta una variable
x, tal que:
x = E(R)
- Rf
Esto no varía la esencia
del índice de performance, ya que la variable x representa el nivel
de prima de rentabilidad
sobre los activos sin riesgo.
Del mismo modo, este cambio
de variable no afecta al desarrollo formal que se está
realizando, ya que:
Dx = D[E(R) - Rf]
Siendo Rf constante: Dx = DE(R)
Luego: 
2) El rango de la variable especificada
en el punto anterior se desarrolla desde un punto hasta siete
puntos, tomándose como escala de los incrementos, 0,25 puntos.
3) El eje de ordenadas presenta, por su parte, los valores de performance, según el índice de
Sharpe, para el nivel de riesgo s* invariante y para los diferentes
valores de x.
4) Cada una de las funciones representadas
en el gráfico se refieren a un valor de s*
diferente. El rango de variación analizado de la desviación
típica va desde el 0,5% hasta el 3,5%, utilizándose como medida base de incrementos 0,25 puntos.
Mientras que, en el segundo de los
casos planteados, se
parte de esta nueva expresión:
Aplicando, en esta ocasión,
un incremento
al valor de s, de manera que se cumplirá
que:
Nuevamente, el objetivo de
este análisis es hallar
el incremento del valor de la performance D´S
provocado, en este
caso, por la variación de la desviación
típica Ds:
Operando, la expresión
a la que se llega es la siguiente:
Donde se cumple que, cambios positivos en la variable representativa
del riesgo, conllevan variaciones negativas en la performance
y viceversa. Ello se
debe a que:
1) Por ortodoxia financiera, como se
ha comentado ya anteriormente, se debe cumplir que:
E(R)* -
Rf > 0
2) Tanto s
como (s+Ds) tendrán lógica y necesariamente
valores positivos.
3) Según las dos evidencias anteriores,
la división incluida en la expresión de D´S será positiva. Por
tanto:
Si Ds
> 0 entonces D´S < 0 , mientras que
si Ds< 0
entonces D´S > 0.
Esta relación inversamente proporcional es difícil de precisar desde
un punto de vista numérico a partir de la expresión
anteriormente indicada, ya que la variación de la performance depende no sólo del valor de
este incremento Ds, sino
que también
depende del valor de partida de la desviación típica, es decir, depende de s. Sin embargo
podemos observar que aumentos adicionales del nivel de riesgo penalizan
en mayor proporción
al índice de Sharpe cuanto menor es el nivel de riesgo soportado
inicialmente por la
cartera.
El gráfico número 3.10. resulta ilustrativo de la influencia de las variaciones
de la desviación típica sobre la performance indicada por la medida de Sharpe.
Su interpretación es similar al anterior, donde los cambios
se producían en la rentabilidad esperada:
1) En este caso, las abcisas representan la variable dependiente,
es decir, la desviación
típica del rendimiento s. Su rango de variación coincide
con el que se planteó para el gráfico anterior.
2) El eje de ordenadas sigue siendo identificativo de los valores de
la performance
de Sharpe, si bien,
en este caso, se refieren a valores de rentabilidad esperada
constantes para los diferentes valores de s.
3) Igualmente, las funciones que están
representadas en el gráfico se refieren a un valor de E(R)* diferente
en cada caso.
