De estructura similar al índice
de performance de Sharpe, la medida de Treynor (1965) o ratio premio-volatilidad, tiene la siguiente expresión:
En este caso, la prima de rentabilidad que la cartera p ofrece con respecto
a Rf se
relaciona con el parámetro
b significativo del riesgo sistemático
de la cartera de acuerdo
con el modelo de mercado de Sharpe. Por lo tanto, el sentido financiero de este índice indica el exceso
de rentabilidad de una cartera sobre el rendimiento sin riesgo
que la cartera ofrece por unidad de riesgo sistemático.
Similarmente al caso anterior, cuanto mayor sea el valor que el índice
de Treynor tome para
una cartera, mejor
gestionada habrá
estado ésta.
La razón de incluir el riesgo sistemático, se debe al hecho de que hay que suponer
que los gestores de las carteras administran las mismas de forma
eficiente, de tal manera que el riesgo específico habrá
sido anulado y, por
tanto, únicamente hay que pensar en remunerar a los inversores financieros por el riesgo sistemático que soportan.
Siguiendo la misma estructura
de trabajo que en el caso anterior, se procede a realizar el
análisis
del signo de la derivadas
parciales del índice de Treynor en función de los dos parámetros
relevantes:
En este caso, la fiabilidad de que siempre concurra este signo
no es
total, al contrario
de lo que ocurría con el índice de Sharpe, ya que,
como se ha analizado anteriormente cabe la posibilidad de que el parámetro
b representativo del riesgo sistemático
sea
negativo, aunque ello
no es habitual y mucho menos a largo plazo.
De nuevo, el signo negativo
de esta expresión exige que la prima de rentabilidad sea positiva
sobre el rendimiento libre de riesgo, por lo que la conclusión es la misma
que para el índice de Sharpe. No obstante, cumpliendo
estas restricciones el índice de Treynor es aceptable
como expresión indicativa de la performance de las carteras.
Tal y como se realizó
para el estudio del índice de Sharpe, se procede a analizar
las desviaciones que se detectan en el índice
de Treynor ante cambios
de la rentabilidad esperada
e, igualmente, los cambios que sufre el índice para variaciones del parámetro
b.
En primer lugar, mediante el
método
de trabajo de incrementos finitos
de la variables a analizar, se mantendrá constante el
valor de parámetro representativo del riesgo sistemático
y se realizarán variaciones en el valor correspondiente
a la rentabilidad esperada.
De este
modo, sea un valor
de performance TI correspondiente a una cartera cuyo nivel de
riesgo se denota por b*, siendo E(R) su rentabilidad esperada
correspondiente.
A partir de aquí, el
análisis
de sensibilidad se
realiza sobre la rentabilidad esperada. De modo que, aplicándose
un incremento sobre el valor de E(R), se cumplirá que:
El incremento sobre el valor
de la performance que viene provocado por la variación
de la rentabilidad esperada DE(R), es decir, el valor de DT, viene determinado por la siguiente
expresión:
Operando:
Retomando el hecho de que este
índice sólo es asumible para carteras cuyo valor
de b
sea positivo, los incrementos
unitarios en la rentabilidad esperada de una cartera implican
incrementos de performance directamente proporcional, siendo
esta proporción igual a 1 / b* , lo que pone de manifiesto que cuanto
mayor es el nivel de riesgo sistemático soportado menor
será el aumento del ratio de Treynor ante incrementos
adicionales de la rentabilidad esperada.
Este análisis queda
ilustrado en el gráfico 3.13., para el cual son válidas
las cuestiones uno y
dos relacionadas con el gráfico 3.9. relacionadas
con el índice de Sharpe, si bien hay que hacer un par
de cambios en las reflexiones correspondientes a los puntos tres
y cuatro:
- El eje de ordenadas es indicativo de los valores de performance, según el índice de
Treynor, para el nivel de riesgo sistemático b* constante
y para los diferentes valores de x.
- Las diferentes funciones
representadas en el gráfico 3.13 se refieren a valores de b* diferente, siendo su rango de variación analizado el que va desde el valor 0,2 hasta el punto
1,4. Se toma como medida
base de incrementos el valor 0,2.
Por otro lado y de acuerdo
con lo indicado en el punto número uno, se cumplirá
que:
Por otro lado, se analizan
las variaciones
que sufre el índice de performance de Treynor ante variaciones
del parámetro representativo del riesgo sistemático de una cartera, manteniéndose
constante su rentabilidad esperada. La expresión del valor
de TI pasa a ser la siguiente:
En este caso, se trabaja con
un incremento
del valor de b, de manera que se cumplirá
que:
Con la finalidad de obtener
el incremento del índice de la performance D´T que viene determinado por
la variación Db del parámetro que se ha tomado
como representativo del riesgo sistemático.
Operando:
Expresión similar a
la obtenida en el estudio del índice de Sharpe, donde
se observaba que, variaciones
en un determinado sentido del valor del riesgo, conllevaban cambios
de signo opuesto en la performance. Por ello, en el caso del índice de Treynor
ocurre lo mismo, siempre indicando la necesaria positividad del parámetro
b.
Tomando como base las indicaciones
realizadas para la realización del gráfico 3.10.,
en el gráfico 3.14. se ilustran las variaciones de performance
que provoca la alteración del parámetro citado.
De esta manera, debe
indicarse que:
- Apelando nuevamente a la
ortodoxia financiera, debe cumplirse
que:
E(R)* -
Rf > 0
- Tanto b
como (b+Db)
deberán ser positivos,
de acuerdo con los supuestos inicialmente indicados.
- A partir de los dos puntos
anteriores, se
debe cumplir que:
Por tanto:
si Db > 0 entonces D´T
< 0 .
mientras que si Db <
0 entonces D´T > 0.
Como ocurría en el caso
del índice de Sharpe, la variación que se produce en la medida de performance de Treynor depende de Db,
así como también del valor inicial de b.
Podemos observar que aumentos adicionales del nivel de riesgo
sistemático penalizan en mayor proporción al índice de Treynor cuanto menor es el
nivel de riesgo sistemático
soportado inicialmente por la cartera.
Todas estas cuestiones quedan
reflejadas en el gráfico 3.14., por lo que resulta ilustrativo
de la influencia
de las variaciones de b sobre la performance
que propone el índice de Treynor. Recordando las aclaraciones ya indicadas, este
gráfico puede interpretarse teniendo en cuenta las siguientes
cuestiones:
1) El eje de abcisas
representa los valores del parámetro b. Su
rango de variación parte desde 0,2 y se dilata hasta 1,4
siendo 0,2 el valor base de los incrementos.
2) El eje de ordenadas representa los valores de la medida de performance de Treynor, referidos a valores de rentabilidad
esperada constantes para los diferentes valores de b.
3) Las funciones representadas en el
gráfico se refieren, para cada caso, a un valor diferente de
E(R)*.
