La performance y sus medidas

V La rentabilidad diferencial de Jensen

1) Sentido financiero

En este caso, la medida de performance propuesta por Jensen (1968), que a continuación se analiza, tiene una estructura notoriamente diferente a las dos anteriores. Su expresión parte de la S.M.L. analizada en el C.A.P.M., tal que la rentabilidad esperada de una cartera es igual al rendimiento sin riesgo más una prima de rentabilidad por unidad de riesgo sistemático soportado, es decir:
E(Rp) = Rf + [ E(RM) - Rf ] * bp

Sin embargo, el valor ex-post de rentabilidad de la cartera puede o no coincidir con el esperado. En función de que la cartera supere, iguale o esté por debajo del rendimiento esperado, se dice que la cartera ha batido al mercado, lo ha igualado o ha sido batida por el mercado.

Lo normal es que exista una diferencia entre la rentabilidad esperada y la realmente obtenida. En esa diferencia surge el sentido financiero del índice de performance de Jensen, tal que:

E(Rp) = E(Rp)* + Jp

Donde:

- E(Rp)* es el rendimiento realmente obtenido por la cartera p.

- Jp el valor del índice de Jensen para la cartera p.

Desarrollando la expresión:

E(Rp) = Rf + [ E(RM) - Rf ] * bp + Jp

Se obtiene la estructura del índice de performance de Jensen:

Jp = [ E(Rp) - Rf ] - [ E(RM)-Rf ] * bp

Estructura que obedece a lo que posteriormente Sharpe denominó como rentabilidad diferencial de una cartera, ya que, por un lado, se determina la prima de rentabilidad que obtiene un título o una cartera; mientras que por otro, se relaciona la rentabilidad de la cartera de mercado con la rentabilidad libre de riesgo, multiplicándose dicha diferencia por el valor del parámetro b representativo del nivel de riesgo sistemático del título o de la cartera que se analiza.

El ranking que este índice propone también se produce en relación directa con el valor que se obtiene para cada cartera de la expresión anterior. No obstante, en este caso, existe la posibilidad de valores negativos para Jp.

En este caso, a diferencia de los dos índices anteriores, la medida de la performance de Jensen sí que es polinómica.

Recordando las expresiones que se indicaban en el apartado segundo de este capítulo:

P = a*E(R) + b*s + k

De manera obvia, tomando:

a = 1

b = - [ E(RM)-Rf ]

k = - Rf

Y teniendo en cuenta que s denota, de modo general, el nivel de riesgo y que, por tanto, se cambia por el parámetro b puesto que, en este caso, únicamente se tiene en cuenta el riesgo sistemático. Por todo ello:

Jp = a*E(Rp) + b*bp + k

En este caso, las derivadas parciales resultan inmediatas:

La primera derivada parcial es obvia en su signo, sin embargo, para que se cumpla el signo de la segunda, el contenido del paréntesis debe ser positivo, o lo que es lo mismo, el mercado debe ofrece un rendimiento medio superior al ofrecido por los activos libres de riesgo.

Este extremo ya se ha puesto en tela de juicio, precisamente al analizar la S.M.L., en algunos estudios coyunturales, si bien, el hecho de que la prima de rentabilidad de mercado sea positivo es un aspecto de absoluta lógica financiera.

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2) Estudio de sus líneas isoperformance

Con este análisis, y dando por cierto el requisito citado, el índice de Jensen es válido para la medición de la performance de las carteras. Su mapa de líneas formadas por combinaciones con idénticos valores de performance viene indicado en el gráfico número 3.15.

En dicho gráfico se ilustra unas coordenadas tales que, el eje de abcisas representa el riesgo sistemático b, mientras que en el eje de ordenadas se sitúa la variable x que ha sido ya definida anteriormente:

x = E(R) - Rf

Tal y como se ilustra en el gráfico, el mapa de líneas isoperformance contiene líneas rectas y paralelas. El punto donde cada recta corta al eje de ordenadas representa el valor de la performance de las carteras que contiene. Por lo tanto, la línea recta c contiene todas las combinaciones neutras, es decir, de performance cero, mientras que las situadas por encima de ésta son conjuntos de carteras superiores y mayor lo serán cuanto más lejanas estén de la recta c. Por último, las isoperformance que se encuentran por debajo de la línea c representan carteras inferiores, con valor del índice de Jensen negativo, que serán menos deseables cuanto mas lejanas estén de la isoperformance de partida indicativa de carteras con performance cero.

Otras reflexiones son las siguientes:

- La pendiente de las líneas isoperformance del índice de Jensen coincide con el valor de -b, es decir, con E(RM)-Rf.

- En el caso de deshacer el cambio de variable realizado anteriormente, la pendiente de las líneas no variaría, si bien la ordenada en el origen de la isoperformance de valor cero sería igual a Rf. El resto no se modificaría, las líneas situadas por encima de ésta indicarán combinaciones superiores y las situadas por debajo carteras inferiores.

Ejemplo 3.3. De forma análoga a lo realizado en los ejemplos 3.1 y 3.2, realizaremos el análisis de la performance de las cinco carteras propuestas, utilizando en esta ocasión el índice de la rentabilidad diferencial de Jensen. Para ello será necesario conocer las rentabilidades medias tanto del mercado como de las distintas carteras seleccionadas. También será necesario calcular las b de las diferentes carteras, cosa que hemos hecho anteriormente para determinar los índices de Treynor. Los resultados son los siguientes:  bA 1,193 bB 1,016 bC 1,241 bD 1,080 bE 1,532 La rentabilidad media del índice de mercado y de los activos libres de riesgo, de acuerdo con los datos de los ejemplos anteriores, son en porcentaje: E(RM)=0,833 Rf=0,25 Aplicando el índice de Jensen a las diferentes carteras analizadas obtenemos los siguientes resultados:  JA 0,012 JB 0,032 JC -0,141 JD 0,161 JE 0,189 Observamos como era de esperar que la cartera D presenta un mejor índice de Jensen que nuestra cartera A, así como que la cartera C presenta un índice inferior, incluso negativo. Las carteras B y E muestran un mejor nivel de performance que nuestra cartera A, generando la misma ordenación que con el índice de Treynor. Recordemos que cuando comparábamos la performance de estas dos carteras respecto a la de la cartera A utilizando el ratio de Sharpe, obteníamos peores niveles de performance de la cartera B respecto a la A. De acuerdo con el gráfico 3.11, las líneas isoperformance de nuestras cinco carteras analizadas quedan recogidas de la siguiente forma:

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3) Tratamiento de la rentabilidad y del riesgo sistemático

Por otro lado, el estudio pasa a centrarse en las variaciones que sufre el índice de Jensen ante incrementos de la rentabilidad esperada. Partiendo de una cartera de partida cuyo nivel de performance es JI correspondiente a un nivel de riesgo expresado por b*, y a una rentabilidad esperada E(R) tal que:

JI = [ E(R) - Rf ] - [ E(RM)-Rf ] * b*

Tomando el citado valor del riesgo sistemático como constante, se aplican incrementos sobre la rentabilidad esperada. De esta manera:

Siendo:
DJ = DE(R)

En este caso, el incremento de performance no sólo es del mismo signo que el incremento de rentabilidad, sino que además son coincidentes.

En el gráfico 3.17. se puede observar la evolución de la performance en base a los cambios que se producen en la rentabilidad esperada de la cartera. Las precisiones que se deben indicar para la comprensión de este gráfico son las siguientes:

- El eje de abcisas se compone de los valores de la variable x ya especificada puesto que no varía la esencia del análisis:

Dx = D[E(R)-Rf] = DE(R)

Luego: DJ =Dx

- Por su parte, el eje de ordenadas se refiere a los valores de performance, según el índice de Jensen, para un determinado nivel de riesgo sistemático b* que se considerará constante para cada función, analizando en cada caso los diferentes valores de x.

- Cada una de las funciones representadas se refieren a valores del parámetro b* diferentes. El rango de variación de este elemento indicativo del riesgo sistemático es idéntico al utilizado en el desarrollo anterior correspondiente al análisis del índice de Treynor.

Por otro lado, se analizan las variaciones que sufre el índice de performance de Jensen ante variaciones del parámetro representativo del riesgo sistemático de una cartera, manteniéndose constante su rentabilidad esperada. La expresión del valor de JI pasa a ser la siguiente:

Tomando, en este caso, incrementos relacionados con el valor del riesgo sistemático, se mantiene constante la rentabilidad esperada. El resultado de esta operación es el siguiente:

Siendo:

De modo que, aludiendo, en este caso, a la necesidad de que E(RM) sea mayor que Rf, de acuerdo con la ortodoxia financiera, los incrementos del nivel de riesgo sistemático en un sentido implican alteraciones del índice de Jensen en sentido opuesto.

Esta reducción del índice de Jensen es constante y proporcional al aumento del riesgo sistemático.

El gráfico número 3.18. resulta representativo de esta relación entre riesgo sistemático y performance para niveles diversos de rentabilidad media. En dicho gráfico las abcisas son representativas de los valores de b en el rango ya anteriormente especificado, mientras que las ordenadas indican los niveles de la medida de performance de Jensen.