Las medidas de performance alternativas de coherencia relativa

II El producto pérdida-riesgo total. Diferentes alternativas

1) Estudio de las líneas isoperformance de cada alternativa

Como se ha comentado, en este capítulo se trata de proponer índices de performance que eviten, de forma puntual, las incoherencias que ofrecían las medidas tradicionales. Para empezar, se tomarán como referencias las inconsistencias que ofrecía el índice de Sharpe ante situaciones coyunturales anómalas.

Recordando los desarrollos realizados, el índice de Sharpe ofrecía inconsistencias en el caso concreto de que la rentabilidad de las carteras objeto de estudio tuvieran un rendimiento medio inferior al rendimiento medio de los títulos libres de riesgo, ya que, en este caso, la derivada parcial del índice con respecto al riesgo total de las carteras era positiva.

La solución del problema planteado debe contemplar una cuestión fundamental: en el índice tradicional de Sharpe se habla de ratio premio-variabilidad, donde rendimiento medio y riesgo total afectan al índice de manera inversa, el primero de forma favorable y el segundo de forma desfavorable. En el caso de que el premio sea coyunturalmente negativo la situación planteada se convierte en un ratio pérdida-variabilidad donde ambas componentes actúan de forma inversa, siendo lo adecuado en esta situación que actúen en el mismo sentido ya que, tanto la pérdida de rentabilidad como la variabilidad de esta rentabilidad son contrarias a las preferencias del inversor.

La conclusión es, en principio, evidente. Se debe plantear un índice alternativo a la medida de Sharpe que cumpla las siguientes premisas:

Sp´ = Sp´ ( E(Rp) ; sp )

La variable rentabilidad de la cartera p se podría indicar haciendo referencia al rendimiento medio de los activos sin riesgo mediante la variable (-x) contraria a la variable x repetidamente utilizada en apartados anteriores, tal que:

(-xp) = Rf - E(Rp)

De esta manera, (-xp) representa la variable pérdida que se ha citado antes, por lo que tendrá valor positivo en el contexto que se analiza. Con este cambio de variable, la expresión de índice alternativo al de Sharpe pasa a ser la siguiente:

Sp´ = Sp´ ( (-xp) ; sp )

Si pérdida y riesgo deben actuar en el mismo sentido deberá cumplirse una de estas dos situaciones:

Ambas posibilidades se van a estudiar por separado, intentado en cada una de ellas ofrecer medidas coherentes con la nueva situación planteada.

1) En el caso de que se intente indicar una medida de performance que cumpla que las derivadas parciales con respecto a la pérdida media y al riesgo total sean positivas, se debe partir del concepto de que cuánto mayor sea el valor del índice peor gestionada habrá estado la cartera. Es decir, la ordenación se debe realizar de forma inversamente proporcional al valor de la medida de performance que se plantee.

A continuación, se van a plantear diversas opciones con la finalidad de observar qué medida puede mantener el sentido inicial de la medida de Sharpe:

1.a) En particular, Ferruz y Sarto (1993) ofrecen una medida de performance que cumple con estas premisas y que bautizan como producto pérdida-riesgo. Dicha medida tiene la siguiente expresión:

PPRp = [ Rf - E(Rp) ] * sp

En realidad, debería denominarse producto pérdida-riesgo total ya que se trabaja con la desviación típica de la variable rentabilidad de la cartera objeto de análisis. También podría indicarse de la siguiente manera:

PPRp = (-xp) * sp

Donde:

Se ofrece, por tanto, una medida simple que cumple con el objetivo de ofrecer rankings coherentes en el entorno concreto de que la variable (-x) sea positiva.

En este caso, las líneas isoperformance tendrán la siguiente estructura para los diferentes valores de PPRp*:

Siendo el correspondiente mapa de lineas isoperformance el presentado en el gráfico 5.1.

En este gráfico, los propios ejes de coordenadas indican las combinaciones cuyo nivel de performance es nulo, para posteriormente, indicar cada curva un nivel de performance que será mayor cuanto más alejada esté la línea de los ejes, recordando que a mayor nivel de performance, de acuerdo con este índice de producto pérdida-riesgo total, peor gestionada habrá estado la cartera.

1.b) Otra alternativa de producto pérdida-riesgo total sería la siguiente:

El cambio introducido implica que, en este caso, se trabaja con la varianza de la variable rentabilidad de las carteras analizadas. De esta manera, y de acuerdo con la nomenclatura anterior:

Donde:

Medida que, como la anterior, ofrece rankings consistentes, ya que, cuanto mayor sea el valor del índice propuesto peor gestionada habrá estado la cartera en cuestión.

El nuevo mapa de líneas isoperformance viene indicado en el gráfico 5.2. La expresión de cada una de estas curvas para los diferentes valores de PPRp´* es la siguiente:

Sobre dicho mapa conviene realizar las siguientes precisiones:

- Los ejes de coordenadas indican las combinaciones cuyo nivel de performance es nulo.

- Cada curva indica un nivel de performance que será mayor cuanto más alejada esté la línea de dichos ejes. Por tanto, una combinación determinada representará un nivel de rechazo mayor cuando más lejos esté del eje la curva isoperformance que la contiene.

2) El segundo de los casos propuestos con anterioridad implica el intento de búsqueda de una medida de performance que cumpla que las derivadas parciales con respecto a la pérdida media y al riesgo total sean negativas. De esta manera, debe hacerse notar que, en este caso, cuánto mayor sea el valor del índice mejor gestionada habrá estado la cartera. Por lo tanto, la ordenación de la bondad en la gestión de los administradores de las carteras se realiza, en este caso, de forma directamente proporcional al valor de las diferentes medidas de performance que en este apartado se planteen.

De acuerdo con las reflexiones realizadas anteriormente, una propuesta inmediata sería la inversa del producto pérdida-riesgo total. De modo que dicho índice tendría la siguiente expresión:

O de forma análoga:

Donde:

En este caso, el mapa de líneas isoperformance queda identificado en el gráfico 5.3. Como se puede observar, dicho gráfico presenta un mapa similar al obtenido para la alternativa 1.b. Sin embargo, en este caso, cuanto más alejada esté la curva isoperformance del eje de coordenadas contendrá combinaciones mejor gestionadas, es decir, con mayor nivel de performance. La expresión de estas líneas isoperformance será la siguiente para cada valor de IPPRp*:

Ejemplo 5.1 En base a las carteras analizadas en el ejemplo 4.1 procederemos a aplicar sobre estas carteras los diferentes índices de coherencia relativa vinculados al producto pérdida-riesgo total. Los datos obtenidos en el ejemplo 4.1 en relación a las tres carteras objeto de estudio son los siguientes: Cartera E(Rp) s(p) A 0,166 1,72 B 0,166 1,34 C 0,166 1,91 Recordamos también que la rentabilidad media de los títulos libres de riesgo es del 0,25 %, por lo que nos encontramos en un contexto donde la variable pérdida (-xp) es positiva. A continuación aplicaremos las tres medidas de performance de coherencia relativa que están ligadas al producto pérdida-riesgo total: Cartera A Cartera B Cartera C PPRp 0,144 0,112 0,160 PPRp´ 0,248 0,151 0,306 IPPRp 6,944 8,928 6,232 Observamos que todos los índices ordenan racionalmente la eficiencia de las diferentes carteras, si bien es verdad que los dos primeros lo hacen (por su propia definición) de una forma contraria, es decir, dan mayores valores del índice a las carteras que han estado peor gestionadas.

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2) Tratamiento de la rentabilidad y del riesgo total en cada alternativa

Además del estudio de las líneas isoperformance de cada una de las alternativas al índice tradicional de Sharpe de coherencia relativa, resulta necesario observar la evolución de los niveles de performance en función de los incrementos que puedan sufrir las dos variables significativas de este contexto, es decir, el nivel de pérdida respecto de Rf y el riesgo total. Por lo que respecta al índice PPRp, desde un punto de vista analítico, resulta obvio que:

D PPRp = D (-xp) * sp

Y, por otro lado:

D´ PPRp = (-xp) * D sp

Pero, donde se pueden observar claramente las evoluciones del valor de índice ante cambios de una y de otra variable es a partir de los gráficos ilustrativos de estas situaciones. De esta manera, los gráficos 5.4. y 5.5. muestran, respectivamente, los cambios de performance ante incrementos de las variables (-xp) y sp.

No obstante, la simple observación de estos dos gráficos únicamente permite comprobar la ya indicada evolución positiva de esta medida ante incrementos también positivos de ambas variables. Sin embargo, el estudio debe ser comparativo con respecto de las funciones determinadas cuando se analizó el índice de Sharpe inicialmente, en particular en los gráficos 3.9 y 3.10. Mediante este análisis se pueden llegar a las siguientes conclusiones:

- La evolución del valor del índice de performance planteado como alternativo al índice de Sharpe ante variaciones de la variable (-x) es similar a la que se producía en el caso inicial. De esta manera, se puede observar cómo la evolución de este valor es directamente proporcional al incremento de la pérdida de rentabilidad.

- Por otro lado, la evolución de este índice ante variaciones del riesgo total debe analizarse de forma opuesta con respecto al caso inicial de Sharpe, ya que, en este caso, los incrementos del nivel de riesgo implican incrementos del valor del índice. Retomando el gráfico 3.10., se observa que los decrementos de performance eran menores conforme se incrementaba el riesgo total. Por lo tanto, los efectos que las variaciones de riesgo implican en este caso no son coincidentes, puesto que son lineales.

 

De esta manera, se observa que la variable riesgo total actúa de modo diferente en el índice producto pérdida-riesgo y en el índice de Sharpe.

Por lo que se refiere al índice alternativo PPRp´, los gráficos 5.6. y 5.7. permiten observar la evolución de los niveles de performance ante variaciones de la pérdida respecto de la rentabilidad de los activos sin riesgo y ante cambios del nivel riesgo total de las carteras, respectivamente.

Analíticamente, se obtiene de manera inmediata que:

Mientras que, ante incrementos del riesgo total:

Operando:

Luego:

En este caso, las conclusiones tras la observación de los gráficos indicados son las siguientes:

- La evolución del valor del índice alternativo a la medida de performance de Sharpe ante variaciones de la variable (-x) vuelve a ser similar, tanto al caso anterior como a la que se producía para el índice original, es decir, los cambios son directamente proporcionales al incremento de la pérdida de rentabilidad.

- Mientras que en el caso de variaciones del riesgo total, recordando la reflexión de que éstas deben analizarse de forma opuesta al caso inicial de Sharpe, se puede observar que los incrementos de nivel de performance siguen la misma tendencia que los decrementos de performance en el ratio premio-variabilidad de Sharpe. Es decir, estos incrementos son más que proporcionales, a diferencia de lo que ocurría en el caso anterior en que dichos incrementos eran lineales.

- Por tanto, y como conclusión general, esta segunda medida actúa de modo idéntico al caso inicial en el índice propuesto por Sharpe.

Por último, respecto al índice IPPRp pueden determinarse las siguientes consecuencias a partir de los gráficos 5.8 y 5.9:

- Las alteraciones que sobre el índice inverso del producto pérdida-riesgo total provocan los cambios en la pérdida de rentabilidad media de la cartera no son lineales y, por tanto, no son semejantes a los que reflejaba el índice de partida de Sharpe.

- Por otro lado, los cambios que provocan las variaciones del riesgo total son de naturaleza similar a los que se observaban en la medida de performance de Sharpe.

De la primera conclusión se deriva, por tanto, que la variable pérdida media de rentabilidad actúa de modo diferente en la medida inversa del PPR por lo que éste índice no se acepta como complementario al ratio premio-variabilidad en contexto de carteras con rentabilidad media inferior a las rentabilidad de los activos libres de riesgo.

Además, se puede observar que esta diferencia de efectos no se corrige con potencias superiores sobre el nivel de riesgo total, como ocurría con el índice PPRp´, ni tampoco con potencias superiores sobre la rentabilidad media de la cartera analizada. Por lo tanto, es obvio que no es relevante seguir el análisis por esta línea de trabajo.